Аддитивные сет-функции и меры

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Эта статья или раздел нуждается в переработке.
Пожалуйста, улучшите её в соответствии с правилами написания статей.

Сет-функция — действительная числовая функция $f\mbox{: } 2^\Omega \rightarrow \ \mathbb{R}$ , определенная на $2^\Omega\$ — множестве всех подмножеств некоторого произвольного конечного множества $\Omega\$ измеримого пространства $(\Omega, \mathcal{F})$ и принимающая свои значения на числовой оси $\mathbb{R}$ .

Аддитивная сет-функция — сет-функция, для которой выполняется равенство:

$f(x \cup y) + f(x \cap y)=f(x)+f(y)$

для любых подмножеств $x \subseteq \Omega$ и $y \subseteq \Omega$ .

Мера — аддитивная сет-функция, для которой верно: $f(\emptyset)=0$ .

Значение любой меры $f\$ на произвольном подмножестве $x \subseteq \Omega$ можно представить в виде суммы ее значений на моноплетах $\{\omega\} \in x$ :

$f(x) = \sum_{\omega \in x} f(\{\omega\}) \mbox{, } x \subseteq \Omega$ .

Считается, что $\sum_{\omega \in \emptyset} f(\{\omega\})=0, \prod_{\omega \in \emptyset}f(\{\omega\})=1$ .

[править] Библиография

Lovasz L. (1983) Submodular functions and convexity. In: A. Bachem, M. Grotschel, and B.Korte, editors, Mathematical Programming - The State of the Art}, Springer-Veriag, 235--257.

Fujishige S. (1984) Theory of submodular programs, A Fenchel-type min-max theorem and subgradients of submodular functions, Mathematical Programming, 29, 142--155.