Алгебра Клиффорда
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Алгебра Клиффорда — специального вида конечномерная ассоциативная алгебра над коммутативным кольцом, впервые рассмотренная Клиффордом (Clifford).
[править] Определение
Пусть K — коммутативное кольцо с единицей, E — свободный K-модуль, Q — квадратичная форма на E. Алгеброй Клиффорда квадратичной формы Q (или пары (E,Q)) называется факторалгебра C(Q) тензорной алгебры T(E), K-модуля E по двустороннему идеалу, порожденному элементами вида 
, где 
. Элементы из E отождествляются с соответствующими классами смежности в C(Q). Для любых 
имеет место тождество 
. Для нулевой квадратичной формы Q алгебра C(Q) совпадает с внешней алгеброй Λ(E) K-модуля E.
[править] Свойства
Пусть 
— базис K-модуля E, тогда элементы
образуют базис K-модуля C(Q). В частности, C(Q) является свободным K-модулем ранга 2n. Если, кроме того, ортогональны относительно Q, то C(Q) можно задать как K-алгебру с образующими 
и определяющими соотношениями eiej + ejej = 0, (
) и 
. Подмодуль C(Q), порожденный произведениями четного числа элементов из E, образует подалгебру в C(Q), которая обозначается через C + (Q).
Пусть K — поле и квадратичная форма Q невырождена. При четном n алгебра C(Q) является центральной простой алгеброй над K размерности 2n, подалгебра C + (Q) сепарабельна, а её центр имеет размерность 2 над K. Если K алгебраически замкнуто, то при чётном, n, C(Q) — матричная алгебра, a C + (Q) — произведение двух матричных алгебр, если же n нечетно, то, наоборот, C + (Q) — матричная, а C(Q) — произведение двух матричных алгебр).
 |
Это незавершённая статья по математике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её. |
