Векторное произведение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание

1 Правые и левые тройки векторов
2 Определение
3 Геометрические свойства векторного произведения
4 Алгебраические свойства векторного произведения
5 Выражение для векторного произведения в декартовых координатах
6 См. также
7 Ссылки

[править] Правые и левые тройки векторов

Три вектора называются упорядоченной тройкой, если указано, какой из этих векторов является первым, какой — вторым, а какой — третьим.

Тройка некомпланарных векторов abc называется правой (левой), если, будучи приведёнными к общему началу, эти векторы располагаются так, как могут быть расположены соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой (левой) руки.

[править] Определение

Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, обозначаемый $\vec c = \left[ \vec a \vec b \right]$ и удовлетворяющий следующим требованиям:

длина вектора c равна произведению длин векторов a и b на синус угла φ; между ними

вектор c ортогонален каждому из векторов a и b
вектор c направлен так, что тройка векторов abc является правой.

[править] Геометрические свойства векторного произведения

Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения.
Модуль векторного произведения [ab] равняется площади S параллелограмма, построенного на приведённых к общему началу векторах a и b
Если e - орт векторного произведения a и b, а S - площадь параллелограмма, построенного на приведённых к общему началу векторах a и b, то для векторного произведения справедлива формула:

$[ \vec a \vec b ] = S \vec e$

Если c - какой-нибудь вектор, π - любая плоскость, содержащая этот вектор, e - единичный вектор, лежащий в плоскости π и ортогональный к c, g - единичный вектор, ортогональный к плоскости π и направленный так, что тройка векторов ecg является правой, то для любого лежащего в плоскости π вектора a справедлива формула

$\left[ \vec a \vec c \right] = Pr_{ \vec e } \vec a \left| \vec c \right| \vec g$

[править] Алгебраические свойства векторного произведения

$\left[ \vec a \vec b \right] = - \left[ \vec b \vec a \right]$ (свойство антикоммутативности);
$\left[ \left(\alpha \vec a \right) \vec b \right] = \left[ \vec a \left(\alpha \vec b \right) \right] = \alpha \left[ \vec a \vec b \right]$ (свойство ассоциативности относительно умножения на скаляр);
$\left[ \left( \vec a + \vec b \right) \vec c \right] = \left[ \vec a \vec c \right] + \left[ \vec b \vec c \right]$ (свойство дистрибутивности по сложению);
$\left[ \vec a \vec a \right] =\vec 0$ для любого вектора a.