Гипотеза Борсука

Гипо́теза Бо́рсука — опровергнутая гипотеза в комбинаторной геометрии, утверждающая, что

Любое тело диаметра d в n-мерном евклидовом пространстве можно разбить на n+1 часть так, что диаметр каждой части будет меньше d.

Гипотеза была выдвинута Каролом Борсуком (Karol Borsuk) в 1933 г.

Случай n = 1 очевиден.
Случай n = 2 был доказан самим Борсуком в 1933 году.
Случай n = 3 был доказан Элгсоном в 1955 году.
Хадвигер (Hadwiger) доказал гипотезу для множеств с гладкой границей.
В 1993 г. Калай и Кан построили контрпример в размерности n = 1825 и, кроме того, для каждого n привели примеры тел, которые нельзя разбить на $[1,1^{\sqrt{n}}]$ части меньшего диаметра (здесь [x] обозначает целую часть x). Таким образом, гипотеза неверна для всех достаточно больших n.

[править] Ссылки

J. Kahn, G. Kalai, A counterexample to Borsuk's conjecture. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 29 (1993), no. 1, 60—62.
В. Г. Болтянский, И.Ц.Гохберг, Разбиение фигур на меньшие части, «Популярные лекции по математике», Выпуск 50, М., "Наука" 1971 г., 88 стр.
В. Г. Болтянский, И. Ц. Гохберг, Теоремы и задачи комбинаторной геометрии. (1965) (содержит доказательство гипотезы в размерностях 2 и 3)
М. Л. Гервер, «О разбиении множеств на части меньшего диаметра: теоремы и контрпримеры», Сборник Математическое Просвещение, Третья серия, Выпуск 3 (1999 год).
А. Б. Скопенков, «n-мерный куб, многочлены и решение проблемы Борсука», Сборник Математическое Просвещение, Третья серия, Выпуск 3 (1999 год).