Дифференциальная теория Галуа
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Содержание |
[править] Предпосылки и основная идея
В математике первообразные определённых элементарных функций не могут быть выражены через элементарные функции. Самый известный пример такой функции — 
. Первообразная этой функции — функция ошибок, известная из статистики. Другие примеры: 
, xx.
Нужно иметь ввиду, что понятие элементарной функции — всего лишь соглашение. Если добавить функцию ошибок к классу элементарных функций, то первообразная exp(-x2) станет элементарной. Тем не менее, можно бесконечно расширять таким образом класс элементарных функций, но всегда будут оставаться функции, первообразные которых не относятся к элементарным.
Аппарат дифференциальной теории Галуа позволяет выяснить, имеет ли функция первообразную, которая выражается через элементарные функции. Дифференциальная теория галуа основана на Теории Галуа. Алгебраическая теория Галуа исследует расширения алгебраических полей, а дифференциальная теория Галуа — расширения дифференциальных полей, т.е. полей, для которых введено дифференцирование кольца, D. В дифференциальной теории Галуа много похожего на алгебраическую теорию Галуа. Существенное различие этих построений состоит в том, что в дифференциальной теории галуа используются матричные группы Ли, а в алгебраической теории Галуа — конечные группы.
[править] Определения
Для любого дифференцируемого поля F, есть подполе
- Con(F) = {f in F | Df = 0},
которое называется константой F. Для двух дифференциальных полей F и G, G называется логарифмическим расширением F, если G является простым трансцендентным расширением F (т.е. G = F(t) для некоторого трансцендентного t), так что
- Dt = Ds/s для некоторого s из F.
Это разновидность логарифмической производной. Для интуитивного понимания можно представить себе t, как логарифм некоторого s из F, и тогда это условие аналогично правилу взятия производной сложной функции. При этом нужно иметь ввиду, что логарифм, содержащийся в F не обязательно единственный; с ним могут соседствовать несколько различных "логарифмообразных" расширений F. Аналогично, экспоненциальныи расширеним называется трансцендентное расширение, которое удолетворяет формуле
- Dt = tDs.
Таким образом можно представить себе этот элемент как экспоненту от s из F. Наконец, G называется простейшим дифференциальным расширением F, если имеется конечная цепочка подполей от F до G, где каждое расширение является алгебраическим, логарифмическим или экспоненциальным.
[править] Примеры
Поле C(x) рациональных функций одной переменной с дифференцированием по этой переменной. Константами этого поля являются комплексные числа C.
[править] Основная теорема
Предположим, что F и G — дифференциальные поля, для которых Con(F) = Con(G), и G является элементарным дифференциальным расширением F. Пускай a принадлежит F, а y — G и, кроме того Dy = a (то есть, G содержит первообразную a). Тогда существуют c1, ..., cn в Con(F), u1, ..., un, v в F такие, что
Другими словами, "элементарная первообразная" есть только у тех функций, которые имеют вид, указанный в теореме. Таким образом, теорема утверждает, что только элементарные первообразные являются "простыми" функциями плюс конечное число логарифмов простых функций.
[править] Ссылки
- Differential Galois Theory, M. van der Put and M. F. Singer
[править] Смотри также
- Алгоритм Риша
- Элементарные функции
