Дуальное преобразование (геометрия)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Дуальное преобразование на плоскости — преобразование, переводящее все точки $(a,\;b)$ в прямые, удовлетворяющие уравнению $a x + b y + 1 = 0$ и наоборот. При этом прямые, проходящие через одну точку переводятся в точки, лежащие на одной прямой и наоборот, соответственно. Для любой теоремы и аксиомы относительно геометрических объектов на плоскости существует аналогичная теорема или аксиома относительно их дуальных отображений.

Дуальное преобразование в пространстве аналогично дуальному преобразованию на плоскости, но переводит все точки $(a,\;b,\;c)$ в плоскости $a x + b y + c z + 1 = 0$ и наоборот.

Дуальное преобразование применимо не только к примитивным геометрическим объектам, но и к аналитически заданным кривым. При этом кривая, проходящая через множество точек переводится в огибающую семейства прямых, дуальных этим точкам. Для параметрически заданной кривой на плоскости ее дуальное отображение определяется следующими уравнениями:

$X[x,\;y]=\frac{y^\prime}{yx^\prime-xy^\prime}$ ,