Квантование Дирака

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

[править] Вывод условия квантования Дирака для магнитного монополя

Поле, создаваемое магнитным монополем, может быть описано вектор-потенциалом А_μ, если допустить существование скачка A_μ на некоторой (произвольной) поверхности S, проходящей через магнитный монополь и делящей пространство на две связные части ^[1]. При этом напряжённость поля непрерывна на поверхности S всюду, кроме точки расположения магнитного монополя, а сама поверхность может быть произвольным образом деформирована с помощью калибровочных преобразований. Циркуляция скачка A по любому контуру, лежащему на S и охватывающему магнитный монополь, равна магнитному потоку, исходящему из магнитного монополя, то есть (согласно теореме Гаусса) заряду g. Контурный интеграл от 4-вектора A даёт вклад в фазу φ волновой функции электрический заряженной частицы, и скачок φ , соответствующий скачку А_μ на поверхности S, равен $\Delta \phi = eg/\hbar c$ . Прп выполнении условия Дирака $Δφ = 2π n$ , так что волновая функция непрерывна во всём пространстве. К тому же скачок А_μ не даёт вклада в напряжённость магнитного поля, которая определяется законом Кулона, поэтому поверхность S ненаблюдаема. В качестве этой поверхности можно выбрать уходящий на бесконечность конус, в вершине которого находится магнитный монополь, а угол при вершине сколь угодно мал («струна», пли «нить», Дирака).

Можно показать, что эффект магнитного монополя сводится к замене $l (l + 1)$ на $l (l + 1) - 1 / 4 n 2$ (n — целое число в условии Дирака) в центробежном потенциале радиального уравнения Шрёдингера ^[2], при этом орбит, угловой момент $l$ может принимать значении $1 / 2 | n | ...1 / 2 | n | + 1,...$ . Заметим, что при нечётном n система из двух бесспиновых частиц благодаря ненулевой дивергенции магнитного поля обладает полуцелым угловым моментом. Таким образом, из двух бозонов с ненулевыми полными злектрическими и магнитными зарядами образуется дион, подчиняющийся статистике Ферми — Дирака. Аналогично связанное состояние бозона и фермиона может быть бозоном.