Квантовый гармонический осциллятор
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Гармонический осциллятор в квантовой механике представляет собой квантовый аналог простого гармонического осциллятора. Здесь правда рассматривают не силы действиющие на частицу, а гамильтониан, то есть полную энергию для гармонического осциллятора, в котором присутствует параболическая потенциальная энергия.
Содержание |
[править] Задача о гармоническом осцилляторе в координатном представлении
Гамильтониан квантового осциллятора выглядит так:
В координатном представлении ,
. Задача об отыскании уровней энергии гармонического осциллятора сводится к нахождению таких чисел E при которых следующее дифференциальное уравнение в частных производных
имеет решение в классе функций интегрируемых с квадратом (грубо говоря, убывающих на бесконечности).
Решение имеет вид
, функции Hn - полиномы Эрмита:
Уровни энергии соответсвующих уровней даются формулой
.
Данный спектр значений заслуживает внимания по двум причинам: во-первых уровнии энергии дискретны и эквидистантны, то есть разница в энергии между двумя соседними уровнями постоянна и равна . Во-вторых наименьшее значение энергии равно
. Этот уровень называют основным, вакуумом, или уровнем нулевых колебаний.
[править] Операторы рождения и уничтожения
Гораздо проще спектр гармонического осциллятора можно получить с помощью операторов рождения и уничтожения.
оператор рождения
оператор уничтожения
коммутационное соотношение (квантовые скобки Пуассона) между ними
С помощью операторов рождения и уничтожения гамильтониан квантового осциллятора записывается в компактном виде:
.
[править] Ангармоничный осциллятор
Под ангармоничным осциллятором понимают осциллятор с неквадратичной зависимостью потенциальной энергии от координаты. Простейщим приближением ангармоничного осциллятора является приближение потенциальной энергии до третьего слагаемого в ряде Тейлора:
Точное решение задачи о спектре энергии такого осциллятора довольно трудоёмкое, однако можно вычислить поправки к энергии, если предположить, что кубическое слагаемое мало по сравнению с квадратичным, и воспользоваться теорией возмущений.
В представлении операторов рождения и уничтожения (представление вторичного квантования), кубическое слагаемое равно
Этот оператор имеет нулевые диагональные элементы, а потому первая поправка теории возмущений отсутсвует. Вторая поправка к энергии произвольного невакуумного состояния равна
[править] Многочастичный квантовый осциллятор
В простейшем случае взаимодействия нескольких частиц можно применить модель многочастичного квантового осциллятора, подразумевая взамодействие соседних частиц по квадратичному закону:
Здесь под xi и pi подразумеваются отклонение (от положения равновесия) и импульс i-той частицы. Суммирование ведется только по соседним частицам.
Такая модель приводит к теоретическому обоснованию фононов - бозе-квазичастиц, наблюдающихся в твердом теле.
[править] Переходы под влиянием внешней силы
Под влиянием внешней силы f(t) квантовый осциллятор может переходить с одного уровня энергии (n) на другие (m). Вероятность этого перехода Wn,m(t) для Осцилятора без затухания даётся формулой
, где
— полиномы Лагерра.