Коэффициент зацепления

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Коэффициент зацепления — целое или дробное число, сопоставляемое двум непересекающимся циклам $z k - 1$ и $z n - k$ в ориентируемом многообразии $M$ размерности $n$ , классы гомологий которых принадлежат подгруппам кручения в целочисленных гомологиях $H_{k-1}(M,\mathbb Z)$ и $H_{n-k}(M,\mathbb Z)$ соответственно.

Простейшим примером является коэффициент зацепления двух непересекающихся замкнутых кривых $L_1,\ L_2$ пространства $\mathbb R^3$ , он равен степени отображения $\phi:L_1\times L_2\to S^2$ определяемого как

$\phi(x,y)=(y-x)/|y-x|,\ x\in L_1,\ y\in L_2.$ .

Коэффициент зацепления не изменяется при непрерывных деформациях кривых, если в течение этой деформации кривые не пересекаются — то есть является инвариантом этого зацепления. Если натянуть на одну кривую ориентированную поверхность, то индекс пересечения будет равен числу точек пересечения первой кривой с этой поверхностью взятых с соответствующими знаками.

Аналогично определяется коэффициент зацепления в случае замкнутых ориентированных многообразий $M k - 1$ и $M n - k$ , расположенных в пространстве $\mathbb R^n$ .

В общем случае коэффициент зацепления определяется через индекс пересечения следующим образом:

Если $C k$ есть $k$ -мерная цепь для которой $\partial C^k=az^{k-1}$ , и $b$ есть индекс пересечения $C k$ с $z n - k$ , то индекс зацепления равен $b / a$ . Это число не зависит от выбора пленки $C k$ .

[править] Свойства

Если поменять ролями циклы $z k - 1$ и $z n - k$ , то коэффициент зацепления умножится на $( - 1) k (n - k)$ .
Если заменить любой из циклов на гомологичный ему в дополнении к другому, то коэффициент зацепления не изменится. Этот факт является основой при интерпретации двойственности Александера с помощью зацеплений.
При замене одного из циклов на любой гомологичный с ним коэффициент зацепления изменяется на целое число, благодаря чему определено спаривание подгрупп кручения в H_{k − 1}(M,Z) и H_{n − k}(M,Z) со значениями в факторгруппе . Это спаривание устанавливает между ними двойственность Понтрягина.
- В частности, для подгруппы кручения в $H_m(M,\mathbb Z)$ в случае $n = 2 m + l$ этим задается билинейная форма самозацеплений со значениями в $\mathbb Q/\mathbb Z$ которая является гомотопическим инвариантом многообразия.

Категория: Алгебраическая топология

Коэффициент зацепления

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

[править] Свойства

Views

Навигация

Участие

Поиск

На других языках