Математическая модель

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Эту статью или раздел следует викифицировать.
Пожалуйста, оформите её согласно общим правилам и указаниям.

Математи́ческая моде́ль — это упрощенное описание реальности с помощью математических понятий. Математическое моделирование — процесс построения и изучения математических моделей реальных процессов и явлений. Все естественные и общественные науки, использующие математический аппарат, по сути занимаются математическим моделированием: заменяют реальный объект его моделью и затем изучают последнюю. Как и в случае любого моделирования, математическая модель не описывает полностью изучаемое явление, и вопросы о применимости полученных таким образом результатов являются весьма содержательными.

Содержание

1 Пример
2 Жесткие и мягкие модели
3 Универсальность моделей
4 Задачи математического моделирования
5 Дополнительные примеры
- 5.1 Модель Мальтуса
- 5.2 Система хищник-жертва
6 Ссылки

[править] Пример

Рассмотрим механическую систему, состоящую из пружины, закрепленной с одного конца, и груза массой $m$ , прикрепленного к свободному концу пружины. Будем считать, что груз может двигаться только в направлении оси пружины (например, движение происходит вдоль стержня). Построим математическую модель этой системы. Будем описывать состояние системы расстоянием $x$ от центра груза до его положения равновесия. Опишем взаимодействие пружины и груза с помощью закона Гука ( $F = - k x$ ) после чего воспользуемся \emph{вторым законом Ньютона}, чтобы выразить его в форме дифференциального уравнения:

$m\ddot x=-kx,$

где $\ddot x$ означает вторую производную от $x$ по времени: $\ddot x=\frac{d^2 x}{dt^2}$ . Полученное уравнение описывает математическую модель рассмотренной физической системы. Эта модель называется «гармоническим осциллятором». В процессе ее построения мы сделали множество допущений (об отсутствии внешних сил, отсутствии трения, малости отклонений и т.~д.), которые в реальности могут не выполняться. В некотором приближении (скажем, пока отклонение груза от равновесия невелико и при соблюдении некоторых других условий), такая модель достаточно хорошо описывает реальную систему, поскольку отброшенные факторы оказывают пренебрежимо малое влияние на ее поведение. Однако модель можно уточнить, приняв во внимание какие-то из этих факторов. Это приведет к новой модели, с более широкой (хотя и снова ограниченной) областью применимости. Впрочем, при уточнении модели, сложность ее математического исследования может существенно возрасти и сделать модель фактически бесполезной. Зачастую более простая модель позволяет лучше и глубже исследовать реальную систему, чем более сложная (и, формально, «более правильная»).

[править] Жесткие и мягкие модели

Гармонический осциллятор — пример так называемой «жесткой» модели. Как уже было сказано, она получена в результате сильной идеализации реальной физической системы. Для решения вопроса о ее применимости необходимо понять, насколько существенными являются факторы, которыми мы пренебрегли. Иными словами, нужно исследовать «мягкую» модель, получающуюся малым возмущением «жесткой». Она может задаваться, например, следующим уравнением:

$m\ddot x=-kx+\varepsilon f(x,\dot x),$

Здесь $f(x,\dot x)$ — некоторая функция, в которой может учитываться сила трения или зависимость коэффициента жесткости пружины от степени ее растяжения, $\varepsilon$ — некоторый малый параметр. Явный вид функции $f$ нас в данный момент не интересует~. Если мы докажем, что поведение мягкой модели принципиально не отличается от поведения жесткой (вне зависимости от явного вида возмущающих факторов, если они достаточно малы), задача сведется к исследованию жесткой модели. В противном случае применение результатов, полученных при изучении жесткой модели, потребует дополнительных исследований. Например, решением уравнения гармонического осциллятора являются функции вида $x(t)=A \sin \sqrt{k}t+ B \cos \sqrt{k}t$ , то есть колебания с постоянной амплитудой. Следует ли из этого, что реальный осциллятор будет бесконечно долго колебаться с постоянной амплитудой? Нет, поскольку рассматривая систему со сколь угодно малым трением (всегда присутствующим в реальной системе), мы получим затухающие колебания. Поведение системы качественно изменилось.

Если система сохраняет свое качественное поведение при малом возмущении, говорят, что она структурно устойчива. Гармонический осциллятор — пример структурно-неустойчивой системы. Тем не менее, эту модель можно применять для изучения процессов на ограниченных промежутках времени.

[править] Универсальность моделей

Математические модели обычно обладают важным свойством универсальности: принципиально разные реальные явления могут описываться одной и той же математической моделью. Скажем, гармонический осциллятор описывает не только поведение груза на пружине, но и другие колебательные процессы, зачастую имеющие совершенно иную природу: малые колебания маятника, колебания уровня жидкости в $U$ -образном сосуде, изменение силы тока в колебательном контуре или колебания популяций биологических видов. Таким образом, изучая одну математическую модель, мы изучаем сразу целый класс описываемых ею явлений.

[править] Задачи математического моделирования

Существует два основных класса задач, связанных с математическими моделями: прямые и обратные. В первом случае все параметры модели считаются известными, и нам остается только исследовать ее поведение. Например, определение частоты колебаний гармонического осциллятора при известном значении параметра $k$ -- прямая задача математического моделирования.

Порой требуется решить обратную задачу: какие-то параметры модели неизвестны (например, не могут быть измерены явно), и требуется их найти, сопоставляя поведение реальной системы с ее моделью. Еще одна обратная задача: подобрать параметры модели таким образом, чтобы она удовлетворяла каким-то заданным условиям — такие задачи требуется решать при проектировании систем.

[править] Дополнительные примеры

[править] Модель Мальтуса

Cкорость роста пропорциональна текущему размеру популяции. Она описывается дифференциальным уравнением

$\dot x= \alpha x,$

где $α$ — некоторый параметр, определяемый разностью между рождаемостью и смертностью. Решением этого уравнения является экспоненциальная функция $x (t) = x 0 e α t$ . Если рождаемость превосходит смертность ( $α > 0$ ), размер популяции неограниченно и очень быстро возрастает. Понятно, что в действительности этого не может происходить из-за ограниченности ресурсов. При достижении некоторого критического объема популяции модель перестает быть адекватной, поскольку не учитывает ограниченность ресурсов. Уточнением модели Мальтуса может служить логистическая модель, которая описывается дифференциальным уравнением Ферхюльста

$\dot x=\alpha \left( 1-\frac{x}{x_{s}} \right) x,$

где $x s$ — «равновесный» размер популяции, при котором рождаемость в точности компенсируется смертностью. Размер популяции в такой модели стремится к равновесному значению $x s$ , причем такое поведение структурно устойчиво.

[править] Система хищник-жертва

Допустим, что на некоторой территории обитают два вида животных: кролики (питающиеся растениями) и лисы (питающиеся кроликами). Пусть число кроликов $x$ , число лис $y$ . Используя модель Мальтуса с необходимыми поправками, учитывающими поедание кроликов лисами, приходим к следующей системе, носящей имя Вольтерра--Лотки:

$\begin{cases} \dot x=(\alpha -c y)x;\\ \dot y=(-\beta+d x) y. \end{cases}$

Эта система имеет равновесное состояние, когда число кроликов и лис постоянно. Отклонение от этого состояния приводит к колебания численности кроликов и лис, аналогичным колебаниям гармонического осциллятора. Как и в случае гармонического осциллятора, это поведение не является структурно устойчивым: малое изменение модели (например, учитывающее ограниченность ресурсов, необходимых кроликам) может привести к качественному изменению поведения. Например, равновестное состояние может стать устойчивым, и колебания численности будут затухать. Возможна и противоположная ситуация, когда любое малое отклонение от положения равновесия приведет к катастрофическим последствиям, вплоть до полного вымирания одного из видов. На вопрос о том, какой из этих сценариев реализуется, модель Волтерра--Лотки ответа не дает: здесь требуются дополнительные исследования.

[править] Ссылки

Арнольд В. И. Жёсткие и мягкие математические модели. — М.: МЦНМО, 2004. ISBN 5-94057-134-4
Безручко Б. П., Смирнов Д.А. Математическое моделирование и хаотические временные ряды. — Саратов: ГосУНЦ "Колледж", 2005. ISBN 5-94409-045-6
Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры.. — 2-е изд., испр.. — М.: Физматлит, 2001. ISBN 5-9221-0120-X
Введение в математическое моделирование. Учебное пособие. Под ред. П. В. Трусова. — М.: Логос, 2004. ISBN 5-94010-272-7

Категории: Википедия:Статьи к викификации | Математика

Математическая модель

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание

[править] Пример

[править] Жесткие и мягкие модели

[править] Универсальность моделей

[править] Задачи математического моделирования

[править] Дополнительные примеры

[править] Модель Мальтуса

[править] Система хищник-жертва

[править] Ссылки

Views

Навигация

Участие

Поиск

На других языках