Метод дискретного элемента

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Discrete element method (DEM) — метод дискретного элемента — семейство численных методов для расчёта движения большого числа частиц, таких как молекулы или песчинки. Метод был первоначально применён Cundall в 1971 для решения задач в механике горных пород. Теоретическая основа метода была детализирована Williams, Hocking, и Mustoe в 1985, которые показали, что DEM может быть рассмотрен как обобщение Метода Конечных Элементов (FEM). Его применение для геомеханических задач описано в книге Numerical Modeling in Rock Mechanics, by Pande, G., Beer, G. and Williams, J.R.. Детальное исследование источников в данной области рассматривалось на 1-й, 2-й и 3-й Международной Конференции по Методам Дискретного Элемента. Журнальные статьи делающие обзор о современном состоянии вопроса были опубликованы Williams, и Bicanic (см. ниже). Детальное исследование комбинированного Метода Конечного Элемента-Дискретного Элемента содержиться в книге The Combined Finite-Discrete Element Method, Munjiza. Этот метод иногда называют молекулярной динамикой (MD), даже когда частицы не являются молекулами. Однако, в противоположность молекулярной динамике, этот метод может быть использован для моделирования частиц с несферичной поверхностью. Различными ответвлениями семейства DEM являются метод отдельных элементов (distinct element method) предложенный Cundall в 1971, обобщенный метод дискретного элемента (generalized discrete element method) предложенный Williams, Hocking, и Mustoe в 1985, дискретный деформационный анализ (discontinuous deformation analysis) (DDA) предложенный Shi в 1988 и метод конечных дискретных элементов (finite-discrete element method) предложенный Munjiza и Owen в 2004.

Методы дискретного элемента требуют интенсивной работы процессора ЭВМ и это ограничивают или длину симуляции или количество частиц. Усовершенствования в програмном обеспечении позволили воспользоваться преимуществом возможностей паралельной обработки, чтобы увеличить число частиц или длину симуляции. Альтернативой обработки всех частиц отдельно является обработка данных как сплошной среды и использовать вычислительную гидродинамику.

Содержание 1 Применение 2 Основные принципы метода 3 Долговременные силы 4 Библиография 5 Программное обеспечение

[править] Применение

Фундаментальным предположением метода является то, что матераил состоит из отдельных, дискретных частиц. Эти частицы могут иметь различные поверхности и свойства. Примеры:

• жидкости и растворы, например сахар или белок;
• сыпучие вещества в элеваторе, такие как крупа;
• гранулированный материал, такой как песок;
• порошки, такие как тонер.

Типичные отрасли промышленности использующие DEM:

• Горнодобывающая
• Фармацевтическая
• Нефтегазовая
• Сельскохозяйственная
• Химическая

Jiberish?

[править] Основные принципы метода

DEM-симуляция начинается c помещения всех частиц в кокретное положение и придания им начальной скорости. Затем, силы воздействующие на каждую частицу расчитываются, исходя из начальных данных и соответствующих физических законов.

Следующие силы могут иметь влияние в макроскопических симуляциях:

• трение, когда две частицы касаются друг друга;
• отскакивание, когда две частицы сталкиваются;
• гравитация (сила притяжения между частицами из-за их массы), которая имеет отношение только при астрономических симуляциях.

На молекулярном уровне, мы можем рассматривать

• Силу Кулона, электростатическое притяжение или отталкивание частиц несущих электрический заряд;
• Отталкивание Паули, когда два атома находятся вблизи друг от друга;
• Силу Ван дер Ваальса.

Все эти силы складываются, чтобы найти результирующую силу воздействующую на каждую частицу. Метод интеграции используется, чтобы рассчитать изменение в положении и скорости каждой частицы в течение определенного временного шага из законов Ньютона. Затем, новое положение используется для рассчёта сил в течение следующего шага, и этот цикл программы повторяется до тех пор пока симуляция не закончится.

Типичные методы интеграции используемые в методе дискретнго элемента:

• алгоритм Верлета,
• скорость Верлета,
• метод прыжка.

[править] Долговременные силы

Когда долговременные силы (обычно гравитация или сила Кулона) принимаются во внимание, то взаимодействия между каждой парой частиц необходимо рассчитывать. Число взаимодействий, и вместе с тем стоимость расчёта, возрастает квадратично с увеличением количества частиц. Это не применимо для симуляций с большим числом частиц. Возможный путь избежать эту проблему — объединить некоторые частицы, которые находятся на расстоянии от рассматриваемой частицы, в одну псевдочастицу. Рассмотрим в качестве примера взаимодействие между звездой и отдаленнной галактикой: Ошибка возникающая из-за объединения всех звезд в удалённой галактике в одну точку массы незначительна. Так называемые три алгоритма используются для того чтобы определить какие частицы могут быть объединены в одну псевдочастицу. Эти алгоритмы распределяют все частицы в виде дерева, квадрадерево в случае двухмерной модели и октадерево в случае трехмерной модели.

Однако, симуляции в молекулярной динамике делят пространство, в котором происходит симуляция, на ячейки. Частицы уходящие через одну сторону ячейки просто вставляются с другой стороны (периодические граничные условия); так же поступают и с силами. Силы перестают приниматься в расчёт после так называемой дистанции отсечения (обычно половина длины ячейки), так, что на частицу не воздействует зеркальное расположение той же частицы на другой стороне ячейки. Теперь можно увеличивать количество частиц простым копированием ячеек.

Алгоритмы для обработки долговременных сил:

• Barnes-Hut,
• fast multipole method.

[править] Библиография

• P.A. Cundall, O.D.L. Strack, A distinct element model for granular assemblies. Geotechnique, 29:47—65, 1979.
• Williams, J.R., Hocking, G., and Mustoe, G.G.W., "The Theoretical Basis of the Discrete Element Method, " NUMETA 1985, Numerical Methods of Engineering, Theory and Applications, A.A. Balkema, Rotterdam, January 1985
• Shi, G, Discontinuous deformation analysis — A new numerical model for the statics and dynamics of deformable block structures, 16pp. In 1st U.S. Conf. on Discrete Element Methods, Golden. CSM Press: Golden, CO, 1989.
• Williams, J.R. and Pentland, A.P., "Superquadric and Modal Dynamics for Discrete Elements in Concurrent Design, " National Science Foundation Sponsored 1st U.S. Conference of Discrete Element Methods, Golden, CO, October 19-20, 1989.
• Pande, G., Beer, G. and Williams, J.R., Numerical Modeling in Rock Mechanics, John Wiley and Sons, 1990.
• Kawaguchi, T., Tanaka, T. and Tsuji, Y., [http://www-mupf.mech.eng.osaka-u.ac.jp/paper_pdf/PT98,v96,129 Numerical simulation of two-dimensional fluidized beds using the discrete element method (comparison between the two- and three-dimensional models) Powder Technology, 96(2):129—138, 1998.
• Griebel, Knapek, Zumbusch, Caglar: Numerische Simulation in der Molekulardynamik. Springer, 2004. ISBN 3-540-41856-3.
• Bicanic, Ninad, Discrete Element Methods in Stein, de Borst, Hughes Encyclopedia of Computational Mechanics, Vol. 1. Wiley, 2004. ISBN 0-470-84699-2.
• 2nd International Conference on Discrete Element Methods, Editors Williams, J.R. and Mustoe, G.G.W., IESL Press, 1992 ISBN 0-918062-88-8
• Williams, J.R. and O’Connor, R., Discrete Element Simulation and the Contact Problem, Archives of Computational Methods in Engineering, Vol. 6, 4, 279—304, 1999
• Ante Munjiza, The Combined Finite-Discrete Element Method Wiley, 2004, ISBN 0-470-84199-0

[править] Программное обеспечение

Открытые источники и некоммерческое программное обеспечение:

• BALL & TRUBAL (1979—1980) distinct element method (FORTRAN code), originally written by P.Cundall and currently maintained by C.Thornton.
• SDEC Spherical Discrete Element Code.
• YADE Yet Another Dynamic Engine, second incarnation of SDEC written from ground-up, GPL license.

Доступные за дополнительную плату пакеты DEM-программ, включая PFC3D,EDEM и Passage/DEM:

• Chute Maven (Hustrulid Technologies Inc.)
• PFC2D и PFC3D (Particle Flow Code in 2 Dimensions; Particle Flow Code in 3 Dimensions), PFC2D использует исходный код BALL, PFC3D использует исходный код TRUBAL.
• EDEM (DEM Solutions Ltd.)
• GROMOS 96
• ELFEN
• MIMES
• PASSAGE®/DEM (PASSAGE®/DEM Программа для расчёта частиц под воздействие разнообразных сил.)