Неравенство Джексона — Стечкина
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Неравенство Джексона — Стечкина связывает величину наилучшего приближения функции каким либо классом функций со свойствами этой функции, как правило со значением модуля непрерывности этой функции в определенной точке. Пример:
В примере величина наилучшего приближения функции f полиномами степени n в пространстве L2 оценивается сверху через значение модуля непрерывности функции f в точке δ. Величина K назвается константой Джексона. Вопрос о наименьшем значении этой величины (о «точной константе Джексона»), как правило, очень труден. В тех случаях, когда он разрешим, минимальная константа δ, при которой неравенство остается справедливым, называется точкой Черных, нахождение которой также является нетривиальным.
[править] История
Впервые неравенство такого типа было получено Д. Джексоном (Dunham Jackson) в 1911 году для случая приближения периодических функций тригонометрическими полиномами. Он показал, что
и
Здесь En(f) есть величина наилучшего приближения функции f в равномерной метрике тригонометрическими полиномами степени n − 1. В первом неравенстве функция f предполагается непрерывной, а во втором — r-раз дифференцируемой. В 1945 году Зигмунд получил подобные неравенства с использованием модуля непрерывности второго порядка, в 1947 году Бернштейн смог использовать модуль непрерывности порядка k. В 1949 году Стечкин обобщил все предыдущие результаты и установил (отличным от Джексона методом), что
и
Здесь константы ck не зависят от f, n или r. В результате в отечественной литературе неравенство стало называться неравенством Джексона-Стечкина, а похожие неравенства стали называться неравенствами типа Джексона-Стечкина.
В 1961 году Н.П. Корнейчук указал точную константу Джексона в первом неравенстве:
В 1967 году Стечкин получил неравенство Джексона в пространствах Lp для всех 
:
Позднее этой тематикой занималось (и до сих пор занимаются) большое число математиков в разных странах, были получены аналогичные неравенства для разнообразных пространств, приближающих классов и модулей непрерывности.
