Погружение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Погружение или иммерсия — отображение $f:X\to Y$ одного топологического пространства в другое, при котором каждая точка в $X$ имеет окрестность $U$ , которую $f$ гомеоморфно отображает на $f (U)$ .

Это понятие применяется главным образом к отображению многообразий, где часто дополнительно требуется еще выполнение условия локальной плоскости. Последнее условие автоматически выполнено, если многообразия $X$ и $Y$ являются дифференцируемыми, и матрица Якоби отображения $f$ имеет в каждой точке максимальный ранг, равный размерности $X$ .

[править] Классификация погружений

Задача классификации погружений одного многообразия в другое с точностью до так называемой регулярной гомотопии сведена к чисто гомотопической задаче. В дифференцируемом случае, гомотопия $f_t:X\to Y$ называется регулярной, если матрица Якоби имеет максимальный ранг при каждом $t$ и непрерывно зависела от $t$ . Дифференциал $D:TX\to TY$ погружения определяет послойный мономорфизм касательного расслоения $X$ в касательное расслоение $Y$ . Регулярная гомотопия определяет гомотопию таких мономорфизмов. Оказывается, что этим устанавливается биекция между классами регулярных гомотопий и гомотопическими классами мономорфизмов расслоений.

Задача погружения в евклидовы пространства сводится к задаче гомотопической классификации погружений в многообразия Штифеля $V_n^m$ . Например, так как $\pi_2(V^3_2)=0$ , то имеется только один класс погружений сферы $S 2$ в $\R^3$ , так что стандартное вложение регулярно гомотопно своему зеркальному отражению (т.е. сферу можно «регулярно вывернуть наизнанку», см. парадокс Смейла). Так как $\pi_1(V^2_1)=\Z$ , то имеется счётное число классов погружений окружности в плоскость, а т. к. расслоение Штифеля над $S 2$ гомеоморфно проективному пространству $\R P^3$ и $\pi_1(\R P^3)=\Z_2$ , то имеется только два класса погружений $S 1$ в $S 2$ .

Категория: Дифференциальная геометрия и топология

Погружение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

[править] Классификация погружений

Views

Навигация

Участие

Поиск