Признаки делимости

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

При́знак дели́мости — правило, позволяющее сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному без необходимости выполнять фактическое деление. Как правило, основано на действиях с частью цифр из записи числа в позиционной системе счисления (обычно десятичной).

Существуют несколько простых правил, позволяющих найти малые делители числа в десятичной системе счисления:

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 2
Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр делится на 3 (т. к. все числа вида 10^n при делении на 3 дают в остатке единицу.)
Число делится на 4 тогда и только тогда, когда число из двух последних цифр делится на 4
Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5
Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 3
Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 (т. н. 364 делится на 7 т. к. 36-2*4 = 28 делится на 7)
Число делится на 8 тогда и только тогда, когда число из трех последних цифр делится на 8
Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма цифр делится на 9
Число делится на 10 тогда и только тогда, когда последняя цифра — ноль
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на 11 (т. е. 182919 делится на 11 т. к. 1-8+2-9+1-9 = −22 делится на 11 (т. к. все числа вида 10^n при делении на 11 дают в остатке 1 или -1.))
Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 4
Число делится на 13 тогда и только тогда, когда результат вычитания последней цифры умноженной на 9 из этого числа без последней цифры делится на 13 (т. н. 858 делится на 13 т. к. 85-9*8 = 13 делится на 13)
Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7
Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5
Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две последние цифры делятся на 25 (без остатка)