Разностная схема

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Разностная схема — разностный метод приближенного решения какого-либо дифференциального уравнения с частными производными или применения дифференциального оператора. Разностные схемы применяются к функциям, заданным на какой-либо сетке.

Разностная схема, как правило, использует уравнения, связывающие несколько соседних точек результата и исходных данных (результата на предыдущих шагах в случае дифференциального уравнения). Решение этих уравнений позволяет найти приближенное решение.

[править] Аппроксимация

Для того чтобы уравнения были как-то связаны с приближаемым дифференциальным оператором нужно, чтобы уравнения удовлетворяли многочленам. Если уравнения выполняются для всех многочленов степени не выше r с точностью до O(h^r) (буквой h принятно обозначать шаг сетки), то говорят, что разностная схема имеет r-тый порядок аппроксимации.

[править] Устойчивость

Условия аппроксимации не достаточно для того, чтобы результат разностной схемы приближался к точному ответу при h→0. В случае схем, коэффициенты которых не зависят от решения дифференциального уравнения, нужно выполнение условия устойчивости. Такие схемы можно представить как некоторый линейный оператор, который преобразует значения функции в момент t в значения функции в момент t+h. Условие устойчивости требует, чтобы собственные числа (вообще говоря комплексные) этого оператора не превосходили по модулю 1+ch, где с — некоторая константa, при h→0. Если это условие не выполнено, но погрешности схемы быстро возрастают и результат тем хуже, чем меньше шаг. Если выполнены как условие аппроксимации, так и условие устойчивости, то результат разностной схемы стремится к решению дифференциального уравнения.

[править] Условие Куранта

Условие Куранта — скорость распространения возмущений в разностной задаче не должна быть меньше, чем в дифференциальной. Если это условие не выполнено, то результат разностной схемы может не стремится к решению дифференциального уравнения. В случае схем, коэффициенты которых не зависят от решения дифференциального уравнения, условие Куранта следует из устойчивости.

Для гиперболических систем уравнений это условие часто имеет вид

$\tau \le \min(\frac{h}{|\lambda|_{max}})$

( $τ$ - шаг по времени. $h$ - шаг пространственной сетки. $| λ | m a x$ - максимальное по модулю собственное значение в точке. Минимум берется по всем точкам сетки.)

[править] Классификация схем

[править] Явные схемы

Явные схемы вычисляют значение результата через несколько соседних точек данных. Пример явной схемы для дифференцирования: $f'(x)=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$ (2-й порядок аппроксимации). Явные схемы часто оказываются неустойчивыми.

Согласно Теореме Годунова среди линейных разностных схем для уравнения переноса с порядком аппроксимации выше первого нет устойчивых. Таким образом, все устойчивые схемы высокого порядка аппроксимации являются нелинейными (несмотря на линейность исходного уравнения).

[править] Неявные схемы

Неявные схемы используют уравнения, которые выражают данные через несколько соседних точек результата. Для нахождения результата решается система линейных уравнений. Пример неявной схемы для уравнения струны: $f (x, t + h) - 2 f (x, t) + f (x, t - h) = f (x + h, t + h) - 2 f (x, t + h) + f (x - h, t + h)$ . Неявные схемы обычно являются устойчивыми.

[править] Полунеявные схемы

На одних шагах применяется явная схема, на других — неявная (как правило, эти шаги чередуются).

[править] Компактные схемы

Компактные схемы используют уравнения, которые связывают значения результата в нескольких соседних точках с значениями данных в нескольких соседних точках. Это позволяет повысить порядок аппроксимации. Пример компактой схемы для дифференцирования: $\frac{1}{6}f'(x-h)+\frac{2}{3}f'(x)+\frac{1}{6}f'(x+h)=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$ (4-тый порядок аппроксимации).

[править] Схемы на смещенных сетках

В этих схемах сетки, на которых задан результат, и данные смещены относительно друг друга. Например, точки результата находятся посередине между точками данных. В некоторых случаях это позволяет использовать более простые граничные условия.