Стандартное отклонение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Стандартное отклонение (иногда среднеквадратичное отклонение) — в теории вероятности и статистике наиболее распространенный показатель рассеивания значений случайной величины относительно её математического ожидания. Измеряется в единицах измерения самой случайной величины. Равна корню квадратному из дисперсии случайной величины. Стандартное отклонение используют при расчёте стандартной ошибки среднего арифметического, при построении доверительных интервалов, при статистической проверке гипотез, при измерении линейной взаимосвязи между случайными величинами.

$s=\sqrt{\frac{n-1}{n}\sigma^2}=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)^2}, \quad \sigma=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)^2}$

где $s\,\!$ — стандарт, стандартное отклонение, несмещенная оценка среднеквадратического отклонения случайной величины X относительно её математического ожидания; $\sigma^2\,\!$ — дисперсия; $x_i\,\!$ — i-й элемент выборки; $\bar{x}\,\!$ — среднее арифметическое выборки; $n\,\!$ — объём выборки.

Следует отметить отличие стандарта (в знаменателе $n - 1$ ) от корня из среднеквадратического отклонения (в знаменателе $n$ ), при малом объёме выборки оценка дисперсии через последнюю величину является несколько смещенной, при бесконечно большом объёме выборки разница между указанными величинами исчезает.

Правило 3-х сигм ( $3\sigma\,\!$ ) — практически все значения нормально распределённой случайной величины лежат в интервале $\left[\bar{x}-3\sigma;\bar{x}+3\sigma\right]$ . Более строго - не менее чем с 99% достоверностью, значение нормально распределенной случайной величины лежит в указанном интервале.