Тензор Вейля

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

В дифференциальной геометрии, тензор кривизны Вейля, названный в честь Германа Вейля, представляет собой часть тензора кривизны Римана с нулевым следом. Другими словами, это тензор, удовлетворяющий всем свойствам симметрии тензора Римана с дополнительным условием что построенный по нему тензор Риччи равен нулю.

Тензор Вейля может иметь нетривиальную форму только в пространствах с размерностью не меньше четырёх. В двумерном и трёхмерном пространствах тензоры Вейля тождественно равны нулю.

Тензор Вейля можно получить из тензора кривизны, если вычесть из него определенные комбинации тензора Риччи и скалярной кривизны. Формула для тензора Вейля легче всего записывается через тензор Римана в форме тензора валентности (0,4):

$W = R - \frac{1}{n-2}\left(Ric - \frac{s}{n}g\right)\circ g - \frac{s}{2n(n-1)}g\circ g$

где n - размерность многообразия, g - метрика, R - тензор Римана, Ric - тензор Риччи, s - скалярная кривизна, а h O k - так называемое произведение Кулкарни-Номидзу двух симметричных тензоров валентности (0,2):

$(h\circ k)(v_1,v_2,v_3,v_4) =$	$h(v_1,v_3)k(v_2,v_4)+h(v_2,v_4)k(v_1,v_3)\,$
	${}-h(v_1,v_4)k(v_2,v_3)-h(v_2,v_3)k(v_1,v_4)\,$

В компонентах, тензор Вейля задается выражением:

$W_{abcd}=R_{abcd}-\frac{2}{n-2}(g_{a[c}R_{d]b}-g_{b[c}R_{d]a})+\frac{2}{(n-1)(n-2)}R~g_{a[c}g_{d]b}$

где $R a b c d$ - тензор Римана, $R a b$ - тензор Риччи, $R$ - скалярная кривизна и $[]$ обозначает операцию антисимметрирования.

Тензор Вейля обладает интересным свойством: он остается инвариантным при конформных преобразованиях метрики. То есть, если для данной метрики g ввести новую метрику $\tilde{g}_{ij} = \Omega g_{ij}$ при помощи некоторой функции $Ω$ , то (1,3)-валентный тензор Вейля не изменяется: $\tilde{W}_{abc}{}^d = {W_{abc}}^d$ . По этой причине тензор Вейля еще называют конформным тензором. Из этого свойства следует, что для того, чтобы многообразие было конформно евклидовым, необходимо чтобы его тензор Вейля равнялся нулю. Для размерностей ≥ 4 это условие оказывается также и достаточным. Для пространств размерности 3 необходимым и достаточным условием конформной эвклидовости является равенство нулю тензора Коттона.