Теорема Коши о среднем значении
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Теорема Коши́ о среднем значении утверждает, что
если функции f и g непрерывны на отрезке [a;b] и дифференцируемы в интервале (a;b), при этом g' не обращается в ноль на [a;b], то на этом отрезке найдётся такая точка c, что
|
Геометрически это можно переформулировать так:
| если f и g задают законы движения на плоскости (то есть определяют абсциссу и ординату через параметр t), то на любом отрезке такой кривой, заданном параметрами a и b, найдётся вектор, коллинеарный вектору перемещения от (f(a);g(a)) до (f(b);g(b)). |
[править] Доказательство
Для доказательства введём функцию
 |
Для неё выполнены условия теоремы Ролля: на концах отрезка её значения равны f(a). Воспользовавшись упомянутой теоремой, получим, что существует точка c, в которой производная функции F равна нулю, а 
равна как раз необходимому числу.
Частным случаем теоремы Коши (при g(x) = x) является теорема Лагранжа.
