Теория кос

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Теория кос — раздел топологии и алгебры, изучающий косы и группы кос, составленные из их классов эквивалентности.

[править] Определение косы

Коса из $n$ нитей — объект, состоящий из двух параллельных плоскостей $P 0$ и $P 1$ в трёхмерном пространстве $\R^3$ , содержащих упорядоченные множества точек $a_1,a_2,\dots,a_n\in P_0$ и $b_1,b_2,\dots,b_n\in P_1$ и из $n$ непересекающихся между собой простых дуг $l_1,l_2,\dots,l_n$ , пересекающих каждую параллельную плоскость $P t$ между $P 0$ и $P 1$ однократно и соединяющих точки ${a i}$ с точками ${b i}$ .

Обычно считается, что точки $a_1,a_2,\dots,a_n$ лежат на прямой $l 0$ в $P 0$ , а точки $b_1,b_2,\dots,b_n$ на прямой $l 1$ в $P 1$ , параллельной $l 0$ , причем $a i$ расположены под $b i$ для каждого $i$ .

Косы изображаются в проекции на плоскость, проходящую через $l 0$ и $l 1$ , эта проекция может быть приведена в общее положение так, что имеется только конечное число двойных точек, попарно лежащих в разных уровнях, и пересечения трансверсальны.

[править] Группа кос

Во множестве всех кос с n нитями и с фиксированными $P 0, P 1,{a i},{b i}$ вводится отношение эквивалентности. Оно определяется гомеоморфизмами $h:\Pi\to \Pi$ , где $Π$ — область между $P 0$ и $P 1$ , тождественными на $P_0\cup P_1$ . Косы $α$ и $β$ эквивалентны, если существует такой гомеоморфизм $h$ , что $h (α) = β$ .

Классы эквивалентности, далее также называемые косами, образуют группу кос $B (n)$ . Единичная коса класс эквивалентности, содержащий косу из n параллельных отрезков. Коса $α - 1$ , обратная косе $α$ , определяется отражением в плоскости $P 1 / 2$

Нить косы соединяет $a i$ с $b_{j_i}$ и определяет подстановку, элемент симметрической группы $S n$ . Если эта подстановка тождественна, то коса называется крашеной (или чистой) косой. Это отображение задаёт эпиморфизм $B (n)$ на группу $S n$ перестановок n элементов, ядром которого является подгруппа $K (n)$ , соответствующая всем чистым косам, так что имеется короткая точная последовательность

$0 \to K(n)\to B(n)\to S _n\to 0$

[править] Литература

Сосинский А., Косы и узлы. Квант № 2, 1989, стр. 6-14

На эту статью не ссылаются другие статьи Википедии.
Пожалуйста, воспользуйтесь поиском и установите ссылки в соответствии с принятыми рекомендациями.

Категории: Топология | Википедия:Страницы-сироты

Теория кос

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

[править] Определение косы

[править] Группа кос

[править] Литература

Views

Навигация

Участие

Поиск

На других языках