Тождество Эйлера (кватернионы)

Тождество Эйлера о четырёх квадратах - математическая теорема о том, что

произведение сумм четырёх квадратов само является суммой четырёх квадратов.

Действительно:

$(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2)\,$

$=(a_1 b_1-a_2 b_2 - a_3 b_3 - a_4 b_4)^2 + (a_1 b_2 + a_2 b_1 + a_3 b_4 - a_4 b_3)^2\,$

$+\,(a_1 b_3 - a_2 b_4 + a_3 b_1 + a_4 b_2)^2 + (a_1 b_4 + a_2 b_3 - a_3 b_2 + a_4 b_1)^2\,$

Леонард Эйлер вывел его в 1750 году. Тождество выполняется для элементов любого коммутативного кольца, однако если $a i$ и $b i$ - действительные числа, тогда тождество может быть переформулировано в терминах кватернионов, а именно: модуль произведения двух кватернионов равен произведению модулей сомножителей ( $| a b | = | a | | b |$ ). Аналогично,

«тождество одного квадрата» означает, что модуль произведения двух действительных чисел равен произведению модулей сомножителей ( $| a b | = | a | | b |$ ),
«тождество двух квадратов» (т.н. тождество Брахмагупты) означает, что модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей ( $| a b | = | a | | b |$ ),
«тождество восьми квадратов» означает, что модуль произведения двух октонионов равен произведению модулей сомножителей ( $| a b | = | a | | b |$ ).
«тождества шестнадцати (и более) квадратов» не существует.

Тождество Эйлера было использовано Лагранжем в доказательстве его теоремы о сумме четырех квадратов.