Lagrangeeva formulacija gibalnih enačb

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Z Lagrangeevimi enačbami je mogoče poiskati diferencialne enačbe, ki opisujejo obnašanje mehanskega sistema, prek energijskih konceptov. Precej se jih uporablja v robotiki.

Vsebina

1 Posplošene koordinate
2 Energije in Lagrangeeva funkcija
3 Lagrangeeva enačba
4 Uporabnost
5 Primer
6 Literatura

[uredi] Posplošene koordinate

Enačbe so izražene v posplošenih koordinatah, ki precej olajšajo obravnavo pri omejitvah v gibanjih (npr. gibanje je mogoče le po neki omejeni množici točk) in jih je mogoče zlahka preračunati v katerikoli koordinatni sistem. Te posplošene koordinate $q_{i}\left( t\right)$ so časovne funkcije, njihovo število je enako številu prostostnih stopenj sistema, končni rezultat Lagrangeevega postopka pa so diferencialne enačbe, kjer so po času odvajane te posplošene koordinate.

[uredi] Energije in Lagrangeeva funkcija

Najprej izračunamo kinetično energijo celotnega mehanskega sistema in jo izrazimo s posplošenimi koordinatami:

$W_{K}\left( q_{1},\dot{q_{1}},q_{2},\dot{q_{2}},\ldots ,q_{n},\dot{q_{n}}\right)$ .

Kinetična energija je zagotovo odvisna od časovnih odvodov posplošenih koordinat (se pravi, od hitrosti v smereh teh koordinat), v nekaterih primerih pa še od samih posplošenih koordinat.

Nato s posplošenimi koordinatami izrazimo še potencialno energijo sistema:

$W_{P}\left( q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n}\right)$

Potencialna energija je odvisna le od posplošenih koordinat, nikoli od njihovih časovnih odvodov. Izračunamo jo iz sil, ki so posledica potencialnih (konservativnih) polj, to je tistih polj, pri katerih je delo odvisno le od začetne in končne točke, neodvisno pa od opravljene poti med njima (posledično je delo vzdolž sklenjene poti enako nič). Primeri potencialnih sil so težnost, električna sila, sile v prožnih vzmeteh itd.

Preostale nepotencialne sile (npr. trenje, upor, zunanje sile itd.) bomo upoštevali nekoliko kasneje.

Razlika tako izražene kinetične in potencialne energije se imenuje Lagrangeeva funkcija (tudi »lagranžijan« ali »Lagrangiana«), po navadi jo označimo s črko L:

L = W K - W P

[uredi] Lagrangeeva enačba

Po nekoliko daljšem izpeljevanju se izkaže, da dobimo diferencialne enačbe mehanskega sistema z naslednjimi Lagrangeevimi enačbami:

$\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q_{i}}}\right) -\frac{\partial L}{\partial q_{i}}=\sum F_{s}$

kjer desna stran predstavlja vsoto vseh sil, ki delujejo v smeri posplošene koordinate $q i$ in še niso bile upoštevane pri računanju potencialne energije. Postopek ponavljamo za vse posplošene koordinate, na koncu torej dobimo toliko diferenecialnih enačb, kolikor je posplošenih koordinat.

[uredi] Uporabnost

Metoda je uporabna le pri sorazmerno enostavnih mehanskih sistemih z ne preveč posplošenimi koordinatami, sicer postane zapleteno že »peš« račuanje energij, odvajanja pa še toliko bolj. V takšnih primerih si lahko pomagamo le s programskimi paketi za simbolično računanje, pa še pri teh bo računaje trajalo kar nekaj časa.

[uredi] Primer

Oglejmo si uporabo Lagrangeevih enačb na preprostem primeru točkastega nihala, kot je prikazano na sliki.

Na neraztegljivi vrvici dolžine l naj visi dovolj majhna utež z maso m, da jo lahko smatramo kot točko. Poleg sile v vrvici naj bo edina sila na utež sila težnosti, ki s težnim pospeškom g deluje navpično navzdol. Zračni upor in vse ostale sile zanemarimo. Predpostavimo, da je vrvica ves čas napeta.

Sistem ima le eno prostostno stopnjo, zasuk $\varphi$ , ki naj bo tako tudi edina posplošena koordinata.

Kinetična energija točkaste uteži je enaka:

$W_{k}=\frac{mv^{2}}{2}=\frac{1}{2}ml^{2}\dot{\varphi }^{2}$

Pri računanju potencialne energije moramo najprej poznati dogovorjeno vrednost potencialne energije v neki dogovorjeni točki. Končni rezultat je sicer neodvisen od teh dogovorjenih vrednosti, bodo pa vmesni izračuni precej enostavnejši, če privzamemo, da naj bo potencialna energija v povsem navpični legi nihala (pri $\varphi =0$ ) enaka nič. Višinske razlike točkaste uteži v odvisnosti od naklonskega kota $\varphi$ ni težko izračunati, na koncu dobimo naslednjo zvezo za potencialno energijo: