Användare:Åke Persson/test2
Wikipedia
Polyvalent logik är logik utvecklad i perioden 1973-2005 av Åke Persson i Lund. Den bygger på att logiska konnektiv kan beskrivas som matematiska relationer.
Den utvecklades ursprungligen som en logik för att hantera 'delvis sanning' som en utvidgning av Boolesk algebra, dvs att kunna hantera alla sanningsvärde|sanningsvärden i intervallet [0,1], där delvis sanning uppfattas som ett procentuellt mått mellan 'uteslutet' (0%) och 'helt sant' (100%). Polyvalent logik kan karaktäriseras som en 'infinite-many-many-valued' logik och är därför en Flervärd logik|flervärd logik men är inte sanningsfunktion|sanningsfunktionell i vanlig bemärkelse. Inte heller tillhör den gruppen "Fuzzy logic|fuzzy logics" trots att den hanterar delvis sanning. Den logiska härledningen sker via algebraiska relationer där endast den vanliga matematikens regler får användas.
[redigera] Villkorlig implikation
Ett centralt begrepp denna logik är implikationsbegreppet.
I satser av typ 'om A så B' i det naturliga språket uttrycks att B är uppfyllt givet att A är uppfylld. Den är ett uttalande om B givet A. Om A inte är uppfylld uttalar satsen inget. Satsen uttrycker en villkorlighet och en partiell giltighet. En formell implikation bör således så väl som möjligt avbilda denna villkorlighet för att på bästa sätt avbilda den logik som det naturliga språket använder.
Den klassisk logik|klassiska logikens implikationsbegrepp, den materiell implikation|materiella implikationen (MI) uttalar sig såväl om fallet då A är uppfylld (sann) som när den inte är det (falsk). Detta gör denna implikation ovillkorlig och generellt giltig - den är sann eller falsk för alla kombinationer av sann/falsk hos A och B. MI definieras också genom den ovillkorliga disjunktionen 'icke-A eller B', (~A v B), eller genom den ovillkorliga konjunktionen 'det är inte så att: A och icke-B', ~(A & ~B).
Genom den polyvalent logik|polyvalenta logikens sanningsbegrepp - 'delvis sanning' som 'relativ förekomst' - och den matematiska formalismens möjligheter, är det möjligt att definiera ett implikationsbegrepp som direkt avbildar B:s avhängighet av A. Detta görs enligt nedan:
Om sanningsvärden/relativa förekomster betecknas R(), där sanningsvärdet gäller uttrycket inom parentesen, kan de möjliga 100% fördelas på fyra värden a, b, c och d enligt:
R(A & B) = a
R(A & ~B) = b
R(~A & B) = c
R(~A & ~B) = d
och det måste då gälla att:
1 = a + b + c + d
R(A) = a + b
R(~A) = c + d
R(B) = a + c
R(~B) = b + d
Defineras implikationen 'om A så B' nu som
R(A ⇒ B) = a / (a+b)
får vi ett uttryck som är villkorligt: Om R(A) = a+b = 0, dvs A är inte (alls) uppfylld, blir uttrycket odefinierat och saknar sanningsvärde. I en två-värd kontext med 1 och 0 som enda sanningsvärden kan denna villkoriga implikation representeras:
Villkorlig implikation
p q p ⇒ q 1 1 1 1 0 0 0 1 - 0 0 - att jämföras med ... Materiell implikation
p q p → q 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1
Strecket '-' är inte ett nytt sanningsvärde utan representerar avsaknaden av sanningsvärde och rutan skulle lika gärna vara tom eller tabellen reducerad till två rader:
p q p ⇒ q 1 1 1 1 0 0
Villkorlig implikation har sin direkta motsvarighet i sannolikhetslogikens villkorliga 'B givet A'.
[redigera] Villkorlig implikation saknar den materiella implikationens paradoxer
Att den materiella implikationen (MI) är sann när villkoret p är falskt skapar flera implikationsparadoxer. Den villkorliga implikationen (CI) saknar sanningsvärde, dvs uttrycker ingenting, om fallet då villkoret inte är uppfyllt. Därmed blockeras de implikationsparadoxer som gäller för MI i bivalenta kontexter. Regeln (kontraposition) att "om p så q" uttrycker detsamma som "om icke-q så icke p" gäller i allmänhet inte ty:
p q p ⇒ q 1 1 1 1 0 0 0 1 - 0 0 - och
~q ~p ~q ⇒ ~p 0 0 - 1 0 0 0 1 - 1 1 1 har bara nollan gemensam
Formellt kan detta uttryckas enligt ovan:
med R(~B ⇒ ~A) = d/(d+b)
För att "om p så q" ska uttrycka detsamma som "om icke-q så icke-p" måste a/(a+b) vara lika med d/(b+d) dvs a/(a+b) = d/(b+d), dvs ab + ad = da + db, dvs ab=db. Denna relation är sann i en bivalent kontext där någon av a, b, c, eller d är 1 (sann) och de andra är 0 (falsk) ty då blir båda sidor noll. I övrigt uppfylls ab=db i det specialfall då a=d dvs R(A & B) = R(~A & ~B). Implikationens kontraposition gäller således bara för några specialfall. I första ordningens logik gäller kontraposition för CI bara med kvantifikatorerna "alla" (1) och "ingen" (0). Detta gör att de kända implikationsparadoxerna i flervärda kontexter inte uppträder när CI används.
[redigera] Koefficienttabeller
Den polyvalenta logiken har oändligt många sanningsvärden. Därför kan konnektiven inte beskrivas med sanningstabeller som i den tvåvärda logiken. I stället beskrivs konnektiven som funktioner av de elementära konjunktonerna a, b, c och d definierade ovan, t.ex. beskrivs konnektivet 'eller' som:
R(p v q) = R(p&q) + R(p&~q) + R(~p&q), dvs
R(p v q) = a + b + c, som också kan skrivas
R(p v q) = 1*a + 1*b + 1*c + 0*d
Då alla konnektiv kan beskrivas som en funktion av a, b c och d räcker det att specificera koefficienterna för att entydigt beskriva funktionen. Därmed kan konnektiven även i den polyvalenta logiken beskrivas som tabeller:
p & q p v q p xor q p → q p ↔ q p q ~p ~q a: 1 1 0 1 1 1 1 0 0 b: 0 1 1 0 0 1 0 0 1 c: 0 1 1 1 0 0 1 1 0 d: 0 0 0 1 1 0 0 1 1
vilket helt motsvarar den klassiska logikens sanningstabeller för bivalenta kontexter. Värdena i koefficienttabellerrna är inte sanningsvärden utan koefficienter, men råkar sammanfalla med sanningsvärdena när konnektiven tolkas som sanningsfunktioner i en tvåvärd kontext.
Omvänt, läser man ut tabellen och sätter in koefficienterna så bildas funktionerna (som också är deras definitioner):
R(p & q) = 1*a+0*b+0*c+0*d = a R(p v q) = 1*a+1*b+1*c+0*d = a + b + c R(p xor q) = 0*a+1*b+1*c+0*d = b + c R(p → q) = 1*a+0*b+1*c+1*d = a + c + d R(p ↔ q) = 1*a+0*b+0*c+1*d = a + d R(p) = 1*a+1*b+0*c+0*d = a + b R(q) = 1*a+0*b+1*c+0*d = a + c R(~p) = 0*a+0*b+1*c+1*d = c + d R(~q) = 0*a+1*b+0*c+1*d = b + d
Om koefficienterna för konnektivens definitionsområden tas med kan även villkorligheten hos villkorliga satser uttryckas.
R(p → q) = a + c + d = (1*a+0*b+1*c+1*d) / (1*a+1*b+1*c+1*d)
R(p ⇒ q) = a / (a+b) = (1*a+0*b+0*c+0*d) / (1*a+1*b+0*c+0*d)
För var och en av de elementära konjunktionerna a, b, c och d kan man ange ett "gynnsam/definierad"-tal, och skapa en "koefficientvektor", t.ex. enligt ovan:
R(p → q) = {1/1, 0/1, 1/1, 1/1}
R(p ⇒ q) = {1/1, 0/1, 0/0, 0/0}
vilket i sin tur motsvarar en koefficienttabell enligt.
p → q p ⇒ q a: 1/1 1/1 b: 0/1 0/1 c: 1/1 0/0 d: 1/1 0/0 eller enklare skrivet:
p → q p ⇒ q a: 1 1 b: 0 0 c: 1 - d: 1 -
Koefficienttabeller kan användas för härledning på samma sätt som sanningtabeller, men det är en uppsättning koefficienter för en ny funktion som blir resultatet, inga sanningsvärden. Funktionens sanningsvärde bestäms av sanningsvärdena på de ingående elementära konjunktionerna och kan ej utläsas ur tabellen.
[redigera] Sanningsfunktioner
Den polyvalenta logiken konnektiv är sanningsfunktionella, men i allmänhet inte i kassisk mening som funktioner av dess ingående satser p och q, utan som funktioner av konjunktionerna a, b, c och d. Undantaget är då en polyvalenta logiken appliceras på en tvåvärd kontext. Då blir den även sanningsfunktionell i klassisk mening.
I den booleska logiken, en "matematisk" version av den klassika logiken med sanningsvärdena 1 och 0, uttrycker produkten p*q samma sanning som konjunktionen (p&q) gör i en tvåvärd kontext. I en kontext där delvis sanning kan anges som ett procentuellt tal, dvs även kan ha värden mellan 0 och 1, stämmer inte detta. Genom att plotta funktionsvärdena för R(p)*R(q) respektive R(p&q) för alla olika värden på a, b, c och d kan man åskådligt visa förhållandet mellan dessa funktioner:
Två funktioners inbörders relation simulerat stokastiskt med 20.000 plot. Observera att spridningen ligger mellan en max- och en minfunktion, vilka även kan härledas från sambandet mellan uttrycken.
I det bivalenta fallet kan p och q bara anta värdena 1 eller 0 och p*q blir då antingen 0 eller 1. I diagrammet återstår då bara två punkter - i nedre vänstra hörnet och övre högra hörnet i diagrammet - och mellanliggande värden (röda området) kan inte antas.
Den polyvalenta logiken har ett nära samband med den booleska logiken, som är isomorf med den klassiska. Den booleska logiken är i praktiken bara ett specialfall av den polyvalenta, när den tillämpas på en tvåvärd kontext. Den booleska logiken (utan specialregler, bara vanliga räkneregler) formuleras:
(p&q) = pq
(pvq) = p + q - pq
(p xor q) = p + q - 2pq
(p → q) = 1 - p + pq
(p ↔ q) = 1 - p - q + 2pq
I den polyvalenta logiken gäller:
(p&q) = pq + (ad-bc)
(pvq) = p + q - pq - (ad-bc)
(p xor q) = p + q - 2pq - 2(ad-bc)
(p → q) = 1 - p + pq + (ad-bc)
(p ↔ q) = 1 - p - q + 2pq +2(ad-bc)
I dessa två uppsättningar är det bara termen a*d-b*c som skiljer. Uppsättningarna blir lika då ad=bd, dvs då (ad-bc)=0. Detta är fallet bl.a. i en tvåvärd kontext, ty då antar en av a, b, c eller d värdet 1 (sann) och de andra värdet 0 (falsk). Således är även den till den boolska logiken isomorfa klassiska logiken ett specialfall av den polyvalenta och allt som går att härleda i den klassiska logiken går även att härleda i den polyvalenta. I detta avseende är den polyvalenta logiken snarare en utvidgning av standardlogiken än en avvikare.
[redigera] Menings- och sanningsvärdeidentitet
I den polyvalenta logiken finns en princip som reglerar när två satser har exakt samma mening/betydelse:
Om två satser är uppfyllda, ej uppfyllda eller irrelevanta samtidigt och i samma avseende oberoende av kontext och varje tillfällig situtation, så har de identiska sanningsvärden och identiskt samma mening. Att ha samma mening innebär också att innehålla exakt samma information
Denna identitet har givits sin egen symbol ≡ användbar såväl som logiskt konnektiv som matematisk relation. På det logiska planet ersätter den ekvivalensen ↔ och ⇔ som uttrycker att om någon är sann så är båda sanna, och på det matematiska ersätter den likhetstecknet = som uttrycker att det finns en tillfällig likhet. Distinktionen mellan ≡ och = ger även möjlighet att definiera de modala begreppen nödvändig och möjlig som en integrerad del av den polyvalenta logiken.
[redigera] Kvantorer
Det polyvalenta värderummet omfattar alla sanningsväden från 0% till 100%. Gränsvärdena 0% och 100% och har har dock särskilt intresse då de representerar begreppen 'ingen' och 'alla'. I den polyvalenta logiken reservaras begreppet 'sant' endast för det som är 100% sant, dvs 'alla uppfyllda. Av tradition reserveras ordet 'falsk' för det som inte är sant vilket således måste motsvara 'ej alla uppfyllda, dvs 'ej uppfyllt till 100%. Satsen 'p är sann' kan således skrivas 'p=100%' eller 'p=1'. Satsen 'p är falsk' blir då 'p<>100%' eller 'p<>1' vilket är detsamma som 'p<1' eftersom sanningsvärdet aldrig kan överstiga 100%. Därför måste 'p=0%' utgöra ett annat begrepp än att p är falsk (ej sann). Att 'p=0%' dvs 'p=0' innebär att p inte förekommer alls, dvs att 'p är utesluten'. Negationen till detta är att 'p>0'. Ur detta kan fyra polyvalenta kvantorer definieras:
Tp =df (Rp=1) , "p är sann" (True)
Fp =df (Rp<1) , "p är falsk" (False)
Ep =df (Rp>0) , "p är ej utesluten" (Existent)
Up =df (Rp=0) , "p är utesluten" (Unexistent)
Emedan =1 och =0 motsvarar bestämda sanningsvärden så motsvarar <1 och >0 intervaller av saningsvärden. Matematiskt kan vi även skriva:
Tp ≡ ( p=[1,1] ) ≡ (p=1)
Fp ≡ ( p=[0,1[ ) ≡ ((0≤p)&(p<1))
Ep ≡ ( p=]0,1] ) ≡ ((0<p)&(p≤1))
Up ≡ ( p=[0,0] ) ≡ (p=0)
Notera likheten och skillnaderna mellan satserna Fp och Ep. De omfattar båda intervallet mellan 0% 0ch 100% men inkluderar var sin ändpunkt vilket ger dem skilda och ofta diametralt helt avgörande egenskaper.
T, F, E och U överför satsen p från att uttrycka p:s mening till att i stället uttrycka p:s sanning. Därigenom ändras också föremålet för en negation av satsen från negerande av dess mening till negerande av dess sanning. Negationen av p är den motsatta satsen/meningen ~p. Negationen av Tp, Fp, Ep eller Up är i stället negationen av kvantorn/"sanninspredikatet" där meningen av p förblir oförändrad men den uttrycka sanningen färändras:
~Tp ≡ Fp
~Fp ≡ Tp
~Ep ≡ Up
~Up ≡ Ep
[redigera] Modaliteter
Lp =df (Rp≡1) , "p är nödvändigt sann"
~Lp =df (Rp=/=1) , "p är ej nödvändigt sann"
Mp =df (Rp=/=0) , "p är möjligt existent"
~Mp =df (Rp≡0) , "p är omöjligt existent"
[redigera] Datorrepresentation
Den polyvalenta logiken lämpar sig mycket väl för mekanisk härledning. Genom att utnyttja koefficientrepresentation kan alla funktioner enkelt representeras och kombineras. Även kvantorer och modaliteter kan "koefficientieras" enligt:
1 ≡ Tp + Fp expanderas till
1 ≡ Tp + (Fp&Ep) + (Fp&~Ep), dvs Tp + (Fp&Ep) + (Fp&Up) , som kan reduceras till
1 ≡ Tp + (Fp&Ep) + Up . Denna kan sedan expanderas till
1 ≡ (Tp&Lp) + (Tp&~Lp) + (Fp&Ep) + (Up&Mp) + (Up&~Mp) , vilket motsvarar
1 ≡ R((Rp=1)&(Rp≡1)) + R((Rp=1)&(Rp=/=1)) + R((Rp<1)&(Rp>0)) + R((Rp=0)&(Rp=/=0)) + R((Rp=0)&(Rp≡0))
1 ≡ (T&L)p + (T&~L)p + (F&E)p + (U&M)p + (U&~M)p är ett alternativt sätt att skriva detta på, som kan reduceras till
1 ≡ Lp + (T&~L)p + (F&E)p + (U&M)p + ~Mp
Dessa fem "områden" är inbördes disjunkta och täcker upp alla möjligheter. Därmed blir det möjligt att med koefficientrepresentation även "tabellisera" dessa som sedan kan användas för härledning enligt tabellmetoden.
(fullständigt) (kort) T F E U L ~L M ~M L & T & E & M L 1 0 1 0 1 0 1 0 ~L & T & E & M T&~L 1 0 1 0 0 1 1 0 ~L & F & E & M F&E 0 1 1 0 0 1 1 0 ~L & F & U & M U&M 0 1 0 1 0 1 1 0 ~L & F & U & ~M ~M 0 1 0 1 0 1 0 1
Dessa koefficienter är helt skilda från satsvariablernas och satsfunktionernas koefficienter ovan. Dessa uppsättningar av koefficienter måste behandlas var för sig (men påverkar varandra enligt vissa regler). Så skrivs t.ex. T(p→q) ≡ {11000}(1011), F(p xor q) ≡ {00111}(0110) etc. Genom denna representation blir den logiska analysen med datorkraft synnerligen enkel genom att datorn inte behöver hantera symboler och deras innebörd utan har regler definierade enbart för att manipulera koefficienter. Resultat blir nya vektorer vars mening redan blivit bestämd av den betydelse varje position i vektorerna har.
För att sanningsbegreppen ovan ska kunna kombineras ihop med logiska konnektiv till ett nya uttryck krävs att de behandlar samma sats. T.ex. kan T(pvq) & E(pvq) kombineras ihop till T(pvq) enligt tabellen eftersom det uttalar sig om sanningen av samma sats, men för T(pvq) & E(p→q) kan tabellen ovan inte användas direkt. För detta krävs det speciella omformuleringar enligt nästa avsnitt.
[redigera] E-U-representation
Den villkorliga implikationen definieras som en kvot där nämnaren utgör den villkorliga egenskapen. Som sådan är den svår att logiskt kombinera med andra uttryck. Kvoten uttrycker ett sanningsvärde och sanningsvärden är ej logiska satser som konnektiven kan verka på. Således har vi inga direkta metoder att kombinera t.ex. (p⇒q) & (q⇒p) till (p⇔q) eller att dra slutsatsen q från p & (p⇒q) som i den klassiska logiken. Därmed verkar dessa villkorliga begrepp helt tandlösa - intressanta men inte användbara.
Betraktar vi i stället ((p⇒q)=1) & ((q⇒p)=1) blir läget ett helt annat. Konjunktionen har fått två logiska uttryck att kombinera, och de två uttrycken kan nu uttryckas i kvantitativ form: ((a/(a+b)=1) & (a/(a+c)=1)). Detta kan också skrivas (a=a+b) & (a=a+c), dvs (b=0)&(c=0), dvs (b+c=0) som kan expanderas till (a+b+c+d=a+d), dvs (a+d=1), dvs T(p↔q). Nu kunde vi härleda ekvivalensen men bara den materiella. När kvotuttrycket försvann, försvann även villkorligheten.
Ur relationen a/(a+b)=1 kan man dra slutsatsen att a måste vara lika med a+b för att kvoten ska bli 1. Därför måste b vara noll. Men a måste också vara skiljt från 0 annars blir kvoten odefinierad. Således är ((a>0) & (b=0)) såväl ett nödvändigt som tillräckligt kriterium för att relationen (a/(a+b)=1) ska vara uppfylld. Enligt den polyvalenta logikens identitetsprincip råder det därför meningsidentitet mellan satserna (a/(a+b)=1) och ((a>0) & (b=0)), eller skrivet med prefixrepresentation: T(p⇒q) ≡ (Ea & Ub). På samma sätt kan man härleda för andra relationer: t.ex. (a/(a+b)<1) betyder att b>0, dvs Eb, vilket är tillräckligt för att uppfylla relationen vad a än antar för värde. I själva verket kan alla satser som kan representeras som en kvot och relateras till 1 eller 0 överföras till detta format - till E-U-representation.
Därmed förbättras möjligheterna till härledning dramatiskt genom att uttrycken nu kan kombineras ihop med vanliga logiska konnektiv utan att den villkorliga egenskapen går förlorad. Ex:
T(p ⇒ q) & T(q ⇒ p) ≡
≡ (a/(a+b)=1) & (a/(a+c)=1)
≡ Ea & Ub & Ea & Uc
≡ Ea & Ub & Uc
≡ (a/(a+b+c)=1)
≡ T(p ⇔ q)
Även för vanliga "ovillkorliga" satser är denna E-U-representation giltig, och väl är väl det, annars hade vi inte kunnat kombinera ovillkorliga och villkorliga satser som t.ex. vid modus ponens:
Tp & T(p ⇒ q) ≡
≡ ((a+b)/(a+b+c+d)=1) & (a/(a+b)=1))
≡ (a+b>0) & (c+d=0) & (a>0) & (b=0)
≡ (a>0) & (b+c+d=0)
≡ (a/(a+b+c+d)=1)
≡ T(p&q) varur Tq kan härledas
Villkorligheten innebär att vissa delobservationer av hur a, b, c och d blir uppfyllda kan vara irrelevanta och för sanningsvärdet hos a/(a+b) helt neutrala. Om både a och b är ouppfyllda för någon delobservation så är detta ett neutralt fall som varken bidrar till sanningen av (p⇒q) eller dess negation (p⇒~q). Om däremot a+b>0 så Således, medan a/(a+b) i sitt sanningsvärde samlar upp en procentuell uppfyllandegrad till ett tal mellan 0 och 1, räcker det med ett enda ouppfyllt a/(a+b) för att (a/(a+b)=1) ska bli ouppfylld.
både a och b är ouppfyllda: varken (p⇒q) eller T(p⇒q) påverkas
a är uppfylld och b är ouppfylld: (p⇒q) ökar sitt relativa värde, T(p⇒q) påverkas inte
a är ouppfylld och b är uppfylld: (p⇒q) minskar sitt relativa värde och vid den första sådan blir T(p⇒q) ouppfylld och förblir sedan detta
både a och b är uppfyllda: (p⇒q) miskar sitt värde och vid den första sådan blir T(p⇒q) ouppfylld och förblir sedan detta
[redigera] Släktskap mellan materiell och villkorlig implikation
Att den villkorliga och den materiella implikationen har mycket stor släktskap med varandra framgår när vi sätter de båda implikationerna som sanna (dvs det normala i den tvåvärda klassiska logiken) och reducerar bort villkorligheten:
T(p→q) ≡ (a+c+d=1) som kan kompletteras till (a+b+c+d=1+b) och via (1=1+b) reduceras till (0=b)
T(p⇒q) ≡ (a/(a+b)=1) som omformat till (a=a+b) kan expanderas till (a+c+d=a+b+c+d) dvs (a+c+d=1) eller reduceras till (0=b)
I steget från (a/(a+b)=1) till (a=a+b) försvinner egenskapen villkorlighet och endast egenskapen (0=b) finns kvar. Man kan således betrakta den villkorliga implikationen som en utvidgning av den materiella. Om den villkorliga egenskapen utesluts kommer emellertid många härledningar att ge felaktigt resultat (utifrån intuitiv logik) då översättningen till E-U-form skiljer:
Villkorlig implikation:
T(p⇒q) ≡ (a/(a+b)=1) ≡ Ea & Ub
F(p⇒q) ≡ (a/(a+b)<1) ≡ Eb
E(p⇒q) ≡ (a/(a+b)>0) ≡ Ea
U(p⇒q) ≡ (a/(a+b)=0) ≡ Eb & Ua
Materiell implikation:
T(p→q) ≡ ((a+c+d)/(a+b+c+d)=1) ≡ E(a+c+d) & Ub
F(p→q) ≡ ((a+c+d)/(a+b+c+d)<1) ≡ Eb
E(p→q) ≡ ((a+c+d)/(a+b+c+d)>0) ≡ E(a+c+d)
U(p→q) ≡ ((a+c+d)/(a+b+c+d)=0) ≡ Eb & U(a+c+d)
