Rolles sats
Wikipedia
Rolles sats är en matematisk sats, som bevisades av Michel Rolle 1691 och säger följande.
Om en funktion g är
- kontinuerlig i det slutna intervallet
![\left[a,b\right]](../../../math/f/9/4/f944498af9d6490b5599ba93146f9db8.png)
- deriverbar i det öppna intervallet
samt uppfyller 
så finns det en punkt c i intervallet (a,b) så att 
.
[redigera] Bevis
Om ![g\left(x\right)=g\left(a\right)\, \forall x \in \left[a,b\right]](../../../math/e/1/5/e150e210c15b63c7a41a539a3d9cde94.png)
så är 
en konstant funktion vilket resulterar i att 
och vi är klara.
Antag annars att det finns ett x0 i intervallet som ger 
.
Om vi antar att
och sedan utnyttjar kontinuiteten i intervallet så kan vi se att g måste ha ett maximum vid en punkt c i samma intervall. Men eftersom
så ser vi att c varken kan vara a eller b; c måste således ligga i det öppna intervallet . Men derivatan i en inre maximipunkt för en deriverbar funktion är 0, så .
Analogt fås att det finns ett inre minimum om 
.
[redigera] Konsekvenser
Rolles sats används främst i beviset av den mer generella medelvärdessatsen.
