Yule–Walker-ekvationerna
Wikipedia
Yule–Walker-ekvationerna är en uppsättning ekvationer som uppstår vid estimering av parametrar för en autoregressiv modell för linjär prediktion.
Givet ekvationen
,
där X(n) är vitt brus, önskar man att beräkna parametrarna ak. Genom att multiplicera bägge leden med Y(n - k) får man
Väntevärdet av de bägge leden blir
![E[Y(n) Y(n-k) + \ldots + a_N Y(n-N) Y(n-k)] = E[b_0 X(n) Y(n-k)]](../../../math/7/c/d/7cd76e1badccd7888d9e1252b08692ea.png)
![r_Y(k) + a_1 r_Y(k-1) + \ldots + a_N r_Y(k-N)] = b_0 E[X(n) Y(n-k)]](../../../math/c/1/e/c1e61f1c2e8cf314a032d4b60af76504.png)
(rY(k) är Y:s autokorrelationsfunktion.) Men eftersom Y inte beror av framtida värden av X så är
![E[X(n) Y(n-k)],\ k>0](../../../math/2/a/4/2a4225a8e875ecf5833d974e1e19959b.png)
vilket ger ekvationen
![a_1 r_Y(k-1) + \ldots + a_N r_Y(k-N)] = -r_Y(k)](../../../math/e/c/0/ec0330f0ef07354acfa112b761986670.png)
och ekvationssystemet för 
(notera att rY är symmetrisk, så rY( - k) = rY(k))
Ekvationssystem kan lösas med gausseliminering, eller, eftersom matrisen är en Toeplitz-matris, genom Levinson-rekursion.
