Банаха теорема про нерухому

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Ця теорема була сформульована і доведена у 1922 році Стефаном Банахом. Вона є однією з найбільш класичних і фундаментальних теорем функціонального аналізу, а тому її результати використовуються при доведенні багатьох інших тверджень цієї дисципліни.

[ред.] Формулювання теореми

Всяке стискуюче відображення повного метричного простору в себе має єдину нерухому точку (яку можна знайти методом послідовних наближень, починаючи з будь-якої точки цього простору).

[ред.] Поянення

Нехай (X,d) — метричний простір, $A:X\to X$ — відображення метричного простору X в себе, тоді існує єдиний елемент x метричного простору X, що при відображенні A переходить в себе, тобто A(x)=x.

Для того, щоб знайти цей елемент, можна побудувати таку послідовність. Потрібно взяти довільний елемент $x_0\in X$ , потім покласти $x 1 = A (x 0)$ , після цього взяти $x 2 = A (x 1)$ , далі — $x 3 = A (x 2)$ , і так далі. Отримась послідовність $(x n)$ , яка прямує до шуканого елемента x (при $n\to \infty$ )

[ред.] Доведення

Нехай (X,d) — метричний простір, $A:X\to X$ — стискуюче відображення. Розглянемо послідовність наближень $(x_n), x_n\in X, n\in\mathbb{N}_0$ , у якій $x_n=A(x_{n-1}),\; n\in\mathbb{N}$ , а $x_0\in X$ — довільний елемент. Потрібно довести існування нерухомої точки і єдиність.

Існування. Покажемо, що ця послідовність є фундаментальною, тобто, що для будь-якого ε>0 для всіх m і n, більших деякого $n_0\in \mathbb{N}$ виконуватиметься нерівність $d (x n, x m) < ε$ . Дійсно, оскільки A - стискуюче відображення, тоді існує $\alpha\in[0,1)$ (α - коефіцієнт стиснення) таке, що для всіх $x,y\in X$ виконуватиметься нерівність: $d(A(x),A(y))\le \alpha d(x,y)$ . Візьмемо ε>0, а також $n 0$ таке, щоб $d(x_1,x_0)\frac{\alpha^{n_0}}{1-\alpha}<\varepsilon$ (очевидно, що це завжди можна зробити, бо $d(x_1,x_0)\frac{\alpha^{n_0}}{1-\alpha}$ прямує до 0 при $n_0\to\infty$ ). Розглянемо $d (x m, x n)$ , не зменшуючи загальності, можна вважати, що m>n: $d(x_m,x_n)\le d(x_m,x_{m-1})+d(x_{m-1},x_n)\le d(x_m,x_{m-1})+d(x_{m-1},x_{m-2})+d(x_{m-1},x_n)\le ... \le$ $\le d(x_m,x_{m-1})+d(x_{m-1},x_{m-2})+...+d(x_{n+1},x_n)\le$ $\le \alpha^{m-1}d(x_1,x_0)+\alpha^{m-2}d(x_1,x_0)+...+)+\alpha^{n}d(x_1,x_0)=$ $=d(x_1,x_0)(\alpha^{m-1}+\alpha^{m-2}+...+\alpha^{n})<d(x_0,x_1)\frac{\alpha^{n}}{1-\alpha}<d(x_0,x_1)\frac{\alpha^{n_0}}{1-\alpha}<\varepsilon$ , що і означає фундаментальність послідовності $(x n)$ . Оскільки метричний простір X — повний, то послідовність $(x n)$ збіжна у ньому. Позначимо границю цієї послідовності через x. Тоді $x=\lim_{n\to \infty}x_n=\lim_{n\to \infty}A(x_{n-1})=A(\lim_{n\to \infty}x_{n-1})=A(x)$ , тобто A(x)=x. Існування доведено.

Єдиність. Припустимо, що існують відмінні один від одного $x\in X$ і $\overline{x}\in X$ такі, що $A(x)=x, A(\overline{x})=\overline{x}$ , тоді з одного боку (оскільки x та $\overline{x}$ — нерухомі точки) $d(x,\overline{x})=d(A(x),A(\overline{x}))$ , з іншого, зважаючи на те, що A — стискуюче відображення, $d(A(x),A(\overline{x}))<d(x,\overline{x})$ . Отримана суперечність доводить єдиність.