Гомоморфізм груп

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Гомоморфі́зм груп — відображення $φ$ групи $\mathfrak{G}$ в групу $\mathfrak{G}^\prime$ , що зберігає групову операцію, себто:

$\phi : \mathfrak{G} \rightarrow \mathfrak{G}^\prime: \quad \phi(g \cdot h) = \phi(g) \cdot \phi(h) \quad \forall \mathit{g,h} \in \mathfrak{G}. \qquad (*)$

На відміну від ізоморфізму груп, гомоморфізм не обов'язково має бути взаємно однозначним відображеням. Приклад гомоморфізму: співставлення невиродженої матриці та її детермінанту:

$\phi(A)=\operatorname{det}(A), \quad A\in \mathit{GL(n,\mathbb{R})}$ ,

що є відображенням групи $\mathit{GL(n,\mathbb{R})}$ невироджених лінійних перетворень простору $\mathbb{R}^n$ на мультиплікативну групу дійсних чисел $\mathbb{R}^* = \mathbb{R}\setminus \{0\}$ . Як добре відомо, $\operatorname{det}(AB)=\operatorname{det}(A)\operatorname{det}(B),$ затим (*).