Поле Галуа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Арифметичні операції у полі Галуа з двох елементів
Додавання			Множення

+	0	1	×	0	1
0	$0$	$1$		$0$	$0$
1	$1$	$0$		$0$	$1$

Скінчене поле або поле Галуа (на честь Евариста Галуа) — поле, яке складається із скінченої множини елементів. Найменьше поле Галуа $GF(2)=\mathbb{F}_2$ містить лише два елементи, $0$ та $1,$ арифметичні операції над якими поводяться майже як звичайно, за винятком правила $1 + 1 = 0.$ Це поле широко застосується в дискретній математиці, комп'ютерних науках і теорії кодування. Ідея застосування поля $\mathbb{F}_2$ полягає в тому, що доцільно розглядати послідовності з нулей і одиниць як елементи деякої пов'язаної з ним алгебраїчної структури: векторного простору над цим полем, розширення $\mathbb{F}_{2^n},$ кільця поліномів $\mathbb{F}_{2}[t],$ і т.п. Алгебраїчні операції в цій структурі приводять до низки важливих конструкцій в означених галузях, напр., скінчених проективних площин, кодів Ріда-Мюлера і кодів Гоппа. Засновані на теорії скінчених полей алгоритми перевірки на простоту і факторізації цілих чисел відіграють важливу роль у сучасній прикладній теорії чисел.

Для будь-якого простого числа $p,$ кільце залишків $(\operatorname{mod}\, p)$ — це скінчене поле з $p$ елементів, яке позначається $GF(p)=\mathbb{F}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}.$ Елементи цього поля можуть бути репрезентовані цілими числами $0,1,\ldots,p-1,$ які додаються і множаться "за модулем $p .$ " Ця конструкція узагальнює поле $GF(2)=\mathbb{F}_2,$ яке відповідає $p = 2.$ Будь-яке скінчене поле містить $p n$ елементів і однозначно задається своєю характеристикою $p$ і степінню $n .$

[ред.] Класифікація

Будь-яке скінчене поле $\mathbf{K}$ має просту характеристику $p > 0,$ тому воно містить в собі просте підполе $\mathbb{F}_p.$ З аксіом поля випливає, що $\mathbf{K}$ уявляє собою скінченовимірний векторний простір над $\mathbb{F}_p$ розмірності $n\geq 1.$ Довільний елемент $\mathbf{K}$ задається своїми $n$ коордінатами відносно певного базиса, які належать до $\mathbb{F}_p.$ Таким чином, поле $\mathbf{K}$ складається з $q = p n$ елементів. Виявляється, що і навпаки, для даних простого $p$ і натурального $n\geq 1,$ існує єдине, не враховуючи автоморфізмів, поле Галуа з $q = p n$ елементів, яке має характеристику $p$ і позначається $GF(q)=\mathbb{F}_q=\mathbb{F}_{p^n}.$

Ця стаття в процесі редагування на короткий час.

Будь ласка, не редагуйте та не змінюйте її, оскільки Ваші зміни можуть бути втрачені.

Якщо ця сторінка не редагувалася недавно (кілька годин!), будь ласка приберіть цей шаблон.

Це повідомлення призначено до допомоги скорочення конфліктів редагування; будь ласка приберіть його між сесіями редагування, щоб дати іншим користувачам можливість поліпшити цю сторінку.

Отримано з http://uk.wikipedia.org../../../%D0%BF/%D0%BE/%D0%BB/%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%B5_%D0%93%D0%B0%D0%BB%D1%83%D0%B0_f155.html

Категорії: Статті в процесі редагування | Абстрактна алгебра | Теорія чисел