Тензорний аналіз

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Тензорний аналіз — узагальнення векторного аналізу, розділ тензорного числення, що вивчає диференційні оператори, котрі діють на алгебрі тензорних полів $D (M)$ , що диференціюється $M$ . Розглядаються також оператори, що діють на більш загальні, ніж тензорні поля, геометричні об'єкти: тензорна густина, диференціальні форми зі значеннями у векторному розшаруванні і т.д.

Найбільший інтерес представляють оператори, дія яких не виводить за межі алгебри $D (M)$ .

1) Коваріантна похідна уздовж векторного поля $X$ — лінійне відображення $\nabla_X$ простору векторних полів $D 1 (M)$ від $M$ , залежне від векторного поля $X$ і яке задовольняє умовам:

$\nabla_fX+{}_{gV}Z=f\nabla_XZ,$ $\nabla_X(fZ)=f\nabla_XZ+(Xf)Y,$

де $X$ , $Y$ , $Z\in D'(M)$ , $f$ , $g$ — гладкі функції на $M$ . Звязність $Γ$ і паралельне перенесення, що визначаються цим оператором, дозволяють розповсюдити дію коваріантної похідної до лінійного відображення алгебри $D (M)$ в себе; при цьому відображення $\nabla X$ є диференціювання, зберігає тип тензорного поля і перестановочне зі згорткою.

В локальних координатах $u^1, u^2 \ldots, u^n$ коваріантна похідна тензора з компонентами $T(T^{i_1\ldots{i_l}}_{j_1\ldots{j_m}})$ щодо вектора $X=\xi^i\frac{\partial}{\partial u^i}$ визначається так:

$\nabla_XT=\xi^s(\frac{\partial T^{i_1\ldots i_l}_{j_1\ldots m}}{\partial u^s}+\Gamma^{i_1}_{k_s}T^{k\ldots i_l}_{j_1 \ldots j_m}+\ldots-\Gamma^k_{j_{i,s}}T^{i_1\ldots i_l}_{k\ldots j_m}),$

$\Gamma^i_{ks}$ — об'єкт зв'язності $Γ$ .

2) Лі похідна уздовж векторного поля $X$ — відображення $L X$ простору $D'(M)$ , що визначене формулою $L_X~:~Y\rightarrow [X,~Y]$ , де $[X,~Y]$ — комутатор векторних полів $X$ $Y$ . Цей оператор також однозначно продовжується до диференціювання $D (M)$ , зберігає тип тензорів і переставляється зі згорткою. В локальних координатах Лі похідна тензора $T(T^{i_1\ldots{i_l}}_{j_1\ldots{j_m}})$ виражається так:

$\nabla_XT=\xi^s(\frac{\partial T^{i_1\ldots i_l}_{j_1\ldots m}}{\partial u^s}+\Gamma^{i_1}_{k_s}T^{k\ldots i_l}_{j_1 \ldots j_m}+\ldots-\Gamma^k_{j_{i,s}}T^{i_1\ldots i_l}_{k\ldots j_m}),$

3) Зовнішній диференціал (зовнішня похідна) — лінійний оператор $d$ , що співставляє зовнішній диференційній формі (кососиметричному коваріантному тензору) ступеня $p$ форму такого ж вигляду і ступеня $p + 1$ , котра задовольняє умовам:

$d(\omega_1\wedge\omega_2)=d\omega_1\wedge\omega_2+(-1)^r\omega_1\wedge d\omega_2,~~~~d(d\omega)=0,$

де $\wedge$ — символ зовнішнього добутку $r$ — ступінь $ω 1$ . В локальних координатах зовнішня похідна тензора $\omega\langle\omega_{i_1\ldots i_p}\rangle$ виражається так:

$d\omega=\sum_{n=0}^\infty (-1)^k\frac{\partial\omega_{i_1\ldots \hat i_k\ldots i_{p+1}}}{\partial u^{i_k}}.$

Оператор $d$ — узагальнення оператора $\operatorname{rot}$ .

4) Кривизни тензор симетричного невиродженого двічі коваріантного тензора $g i f$ є дією деякого нелінійного оператора $R$ :

$g_{if}\rightarrow R^s_{mlk}=\frac{\partial\Gamma^s_{km}}{\partial u^l}-\frac{\partial\Gamma^s_{kl}}{\partial u^m}+\sum_p(\Gamma^s_{lp}\Gamma^p_{km}-\Gamma^s_{mp}\Gamma^p_{kl}),$

де

$\Gamma^i_{jk}=\frac{1}{2}g^{is}(\frac{\partial g_{js}}{\partial u^k}+\frac{\partial g_{ks}}{\partial u^s}-\frac{\partial g_{jk}}{\partial u^s}).$

Отримано з http://uk.wikipedia.org../../../%D1%82/%D0%B5/%D0%BD/%D0%A2%D0%B5%D0%BD%D0%B7%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7.html

Категорія: Тензорний аналіз

Тензорний аналіз

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Views

Навігація

Участь

Пошук