H∞-керування

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

H на нескінче́нності або $\mathcal{H}_\infty$ — метод теорії керування для синтезу оптимальних контролерів. Метод є оптимізаційним, що має справу із строгим математичним описом передбачуваної поведінки замкненої системи і її стійкості. Метод примітний своєю строгою математичною базою, оптимізаційним характером і застосовністю як до класичного, так і робастному керування.

$\mathcal{H}$ є нормою в просторі Гарді. «Нескінченність» говорить про виконання мінімаксних умов в частотній області. $\mathcal{H}_\infty$ -норма динамічної системи, рівна максимальному підсиленню системи по енергії. У разі MIMO-систем вона рівна максимальному сингулярному значенню передавальної функції системи, у разі SISO-систем вона рівна максимальному значенню амплітуди її частотної характеристики.

[ред.] Постановка задачі

Спочатку система повинна бути приведена до стандартного вигляду:

Зображення:H-infty_plant_representation.png

Об'єкт управління P має два входи, дві зовнішні дії w, які включають сигнал завдання і збурення. Контрольована змінна позначена u. Це вектор вихідних сигналів системи, що складається з сигналу похибки z, який треба мінімізувати і зміряна змінна v, яка використовується в контурі керування. v використовується в До для підрахунку змінної u.

Рівняння системи:

$\begin{bmatrix} z\\ v \end{bmatrix} = P(s)\, \begin{bmatrix} w\\ u\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}P_{11}(s) & P_{12}(s)\\P_{21}(s) & P_{22}(s)\end{bmatrix} \, \begin{bmatrix} w\\ u\end{bmatrix}$

$u = K(s) \, v$

Таким чином можливо виразити залежність z от w:

$z=F_l(P,K)\,w$

й далі:

$F_l(P,K) = P_{11} + P_{12}\,K\,(I-P_{22}\,K)^{-1}\,P_{21}$

Таким чином, метою $\mathcal{H}_\infty$ -керування є синтез такого контролера K, $F l (P, K)$ , який мінімізував би $\mathcal{H}_\infty$ -норму системи. Те ж стосується й $\mathcal{H}_2$ -керування . Норма на нескінченності матриці $F l (P, K)$ визначається як: