T-розподіл Стьюдента

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

t-розподіл Ст'юдента
Густина розподілу
Кумулятивний розподіл
Параметри:	$\nu > 0\!$ ступені свободи (дійсне)
Область визначення:	$x \in (-\infty; +\infty)\!$
Щільність розподілу:	$\frac{\Gamma((\nu+1)/2)} {\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma(\nu/2)\,(1+x^2/\nu)^{(\nu+1)/2}}\!$
Кумулятивний розподіл:	$\frac{1}{2} + \frac{x \Gamma \left( (\nu+1)/2 \right) \,_2F_1 \left ( \frac{1}{2},(\nu+1)/2;\frac{3}{2};-\frac{x^2}{\nu} \right)} {\sqrt{\pi\nu}\,\Gamma (\nu/2)}$ де $\,_2F_1$ гіпергеометрична функція
Середнє значення	$0$
Найбільш ймовірне значення (мода (статистика)):	$0$
Варіація:	$\frac{\nu}{\nu-2}\!$ коли $ν > 2$
Асиметрія	$0$ коли $ν > 3$
kurtosis	$\frac{3\nu - 6}{\nu-4}\!$ коли $ν > 4$
Ентропія	$\begin{matrix} \frac{\nu+1}{2}\left[ \psi(\frac{1+\nu}{2}) - \psi(\frac{\nu}{2}) \right] \\[0.5em] + \log{\left[\sqrt{\nu}B(\frac{\nu}{2},\frac{1}{2})\right]} \end{matrix}$ $ψ$ : дигама-функція, $B$ : бета-функція

У теорії ймовірностей та статистиці, t-розподіл чи t-розподіл Ст'юдента це різновид розподілу ймовірностей яка виникає у задачі оцінки очікуваного значення нормально розподіленої популяції, коли розмір вибірки малий. Цей розподіл є основою попурялного t-тесту Ст'юдента статистичної значущості різниці очікуваного значення двох вибірок, та інтервалу певності різниці очікуваних значень двох вибірок. t-розподіл Ст'юдента є також часним випадком узагальненого гіперболічного розподілу.

[ред.] Таблиця вибраних значень

Наступна таблиця містить кілька вибраних значень цього розподілу, з r ступенями свободи для інтервалів певнисті 90%, 95%, 97.5% та 99.5%. Ці числа "односторонні", тобто коли ми бачимо "90%", "4 ступенів свободи", та "1.533",

це означає Pr(T < 1.533) = 0.9;

це не означає Pr(−1.533 < T < 1.533) = 0.9.

Тому, по симетрії розподілу, ми маємо

Pr(T < −1.533) = Pr(T > 1.533) = 1 − 0.9 = 0.1,

та в результаті

Pr(−1.533 < T < 1.533) = 1 − 2(0.1) = 0.8.

r	75%	80%	85%	90%	95%	97.5%	99%	99.5%	99.75%	99.9%	99.95%
1	1.000	1.376	1.963	3.078	6.314	12.71	31.82	63.66	127.3	318.3	636.6
2	0.816	1.061	1.386	1.886	2.920	4.303	6.965	9.925	14.09	22.33	31.60
3	0.765	0.978	1.250	1.638	2.353	3.182	4.541	5.841	7.453	10.21	12.92
4	0.741	0.941	1.190	1.533	2.132	2.776	3.747	4.604	5.598	7.173	8.610
5	0.727	0.920	1.156	1.476	2.015	2.571	3.365	4.032	4.773	5.893	6.869
6	0.718	0.906	1.134	1.440	1.943	2.447	3.143	3.707	4.317	5.208	5.959
7	0.711	0.896	1.119	1.415	1.895	2.365	2.998	3.499	4.029	4.785	5.408
8	0.706	0.889	1.108	1.397	1.860	2.306	2.896	3.355	3.833	4.501	5.041
9	0.703	0.883	1.100	1.383	1.833	2.262	2.821	3.250	3.690	4.297	4.781
10	0.700	0.879	1.093	1.372	1.812	2.228	2.764	3.169	3.581	4.144	4.587
11	0.697	0.876	1.088	1.363	1.796	2.201	2.718	3.106	3.497	4.025	4.437
12	0.695	0.873	1.083	1.356	1.782	2.179	2.681	3.055	3.428	3.930	4.318
13	0.694	0.870	1.079	1.350	1.771	2.160	2.650	3.012	3.372	3.852	4.221
14	0.692	0.868	1.076	1.345	1.761	2.145	2.624	2.977	3.326	3.787	4.140
15	0.691	0.866	1.074	1.341	1.753	2.131	2.602	2.947	3.286	3.733	4.073
16	0.690	0.865	1.071	1.337	1.746	2.120	2.583	2.921	3.252	3.686	4.015
17	0.689	0.863	1.069	1.333	1.740	2.110	2.567	2.898	3.222	3.646	3.965
18	0.688	0.862	1.067	1.330	1.734	2.101	2.552	2.878	3.197	3.610	3.922
19	0.688	0.861	1.066	1.328	1.729	2.093	2.539	2.861	3.174	3.579	3.883
20	0.687	0.860	1.064	1.325	1.725	2.086	2.528	2.845	3.153	3.552	3.850
21	0.686	0.859	1.063	1.323	1.721	2.080	2.518	2.831	3.135	3.527	3.819
22	0.686	0.858	1.061	1.321	1.717	2.074	2.508	2.819	3.119	3.505	3.792
23	0.685	0.858	1.060	1.319	1.714	2.069	2.500	2.807	3.104	3.485	3.767
24	0.685	0.857	1.059	1.318	1.711	2.064	2.492	2.797	3.091	3.467	3.745
25	0.684	0.856	1.058	1.316	1.708	2.060	2.485	2.787	3.078	3.450	3.725
26	0.684	0.856	1.058	1.315	1.706	2.056	2.479	2.779	3.067	3.435	3.707
27	0.684	0.855	1.057	1.314	1.703	2.052	2.473	2.771	3.057	3.421	3.690
28	0.683	0.855	1.056	1.313	1.701	2.048	2.467	2.763	3.047	3.408	3.674
29	0.683	0.854	1.055	1.311	1.699	2.045	2.462	2.756	3.038	3.396	3.659
30	0.683	0.854	1.055	1.310	1.697	2.042	2.457	2.750	3.030	3.385	3.646
40	0.681	0.851	1.050	1.303	1.684	2.021	2.423	2.704	2.971	3.307	3.551
50	0.679	0.849	1.047	1.299	1.676	2.009	2.403	2.678	2.937	3.261	3.496
60	0.679	0.848	1.045	1.296	1.671	2.000	2.390	2.660	2.915	3.232	3.460
80	0.678	0.846	1.043	1.292	1.664	1.990	2.374	2.639	2.887	3.195	3.416
100	0.677	0.845	1.042	1.290	1.660	1.984	2.364	2.626	2.871	3.174	3.390
120	0.677	0.845	1.041	1.289	1.658	1.980	2.358	2.617	2.860	3.160	3.373
$\infty$	0.674	0.842	1.036	1.282	1.645	1.960	2.326	2.576	2.807	3.090	3.291

Наприклад, якщо ми маємо вибірку с варіацієй 2 та середнім значенням 10, вибраним з набору 11 елементів (10 ступенів свободи), використовуя формулу:

$\overline{X}_n\pm A\frac{S_n}{\sqrt{n}}$

Ми можемо визначити що з 90% певностю, ми маємо діцсне середнє значення лежаче в інтервалі:

$10+1.37218 \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{11}}=10.58510$

Та, знову з 90% певностю, ми маємо діцсне середнє значення лежаче зовні інтервалу:

$10-1.37218 \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{11}}=9.41490$

Так, з 80% певностю, ми маємо діцсне середнє значення лежаче поміж:

$10\pm1.37218 \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{11}}=[9.41490,10.58510]$

[ред.] Окремі випадки

Деякі значення $ν$ дяють особливо просту форму.

[ред.] $ν = 1$

Шільність розподілу

$F(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}\tan^{-1}(x)$

[ред.] $ν = 2$

Шільність розподілу

$F(x) = \frac{1}{2}\left[1+\frac{x}{\sqrt{2+x^2}}\right]$

Шільність розподілу

$f(x) = \frac{1}{\left(2+x^2\right)^{3/2}}$

[ред.] Література

"Student" (W.S. Gosset) (1908) The probable error of a mean. Biometrika 6(1):1--25.
M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. (1972) Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover. (See Section 26.7.)
R.V. Hogg and A.T. Craig (1978) Introduction to Mathematical Statistics. New York: Macmillan.

[ред.] Ресурси Інтернет

VassarStats Density plot, critical values, etc., calculated for a user-specified number of d.f.
Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (S) (Remarks on the history of the term "Student's distribution")
Distribution Calculator Calculates probabilities and critical values for normal, t-, chi2- and F-distribution
New Methods for Managing "Student's" T Distribution Surveys techniques for sampling with new techniques using the inverse CDF directly

[ред.] Дивись також

Отримано з http://uk.wikipedia.org../../../t/-/%D1%80/T-%D1%80%D0%BE%D0%B7%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D1%96%D0%BB_%D0%A1%D1%82%D1%8C%D1%8E%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0_f13b.html

Категорії: Ймовірнісні розподіли | Статистика | Теорія ймовірностей

T-розподіл Стьюдента

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Зміст

[ред.] Таблиця вибраних значень

[ред.] Окремі випадки

[ред.] $ν = 1$

[ред.] $ν = 2$

[ред.] Література

[ред.] Ресурси Інтернет

[ред.] Дивись також

Views

Навігація

Участь

Пошук

Іншими мовами

T-розподіл Стьюдента

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Зміст

[ред.] Таблиця вибраних значень

[ред.] Окремі випадки

[ред.] ν = 1

[ред.] ν = 2

[ред.] Література

[ред.] Ресурси Інтернет

[ред.] Дивись також

Views

Навігація

Участь

Пошук

Іншими мовами

[ред.] $ν = 1$

[ред.] $ν = 2$