عبری سمتیہ

وکیپیڈیا سے

ایسے سمتیہ کا مجموعہ، جن کے لکیری جوڑ سے سمتیہ فضا کا کوئی بھی سمتیہ بن جاتا ہو، اس فضاء کے لیے عبری سمتیہ (spanning vectors) کا مجموعہ کہلاتا ہے (لفظ عبری کا ماخذ عبور ہے)۔

شکل ۴

شکل ۴ میں $\mathbb{R}^2$ کا پلین دکھایا گیا ہے۔ سرخ ایکسس پر واقعہ سمتیہ $e_0=\left[\begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix}\right]$ اور $e_1=\left[\begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix}\right]$ (شکل ۴ میں سرخ نکتے) $\mathbb{R}^2$ کے قدرتی بنیاد سمتیہ کہلاتے ہیں، کیونکہ $\mathbb{R}^2$ فضاء کا کوئی بھی نکتہ ان دو سمتیوں کے لکیری جوڑ کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ مثلاً نکتہ‭(x,y)‬ یوں لکھ سکتے ہیں: $\left[\begin{matrix}x \\ y \end{matrix}\right] = x e_0 + y e_1$

غور کرو کہ سرخ ایکسس کے بجائے ہم سبز ایکسس بھی استعمال کر سکتے ہیں۔ اس کے لیے شکل ۴ میں سبز نکتوں سے دو سمتیہ دکھائے گئے ہیں، جو (سرخ ایکسس کے حوالے سے) یوں ہیں: $v_0=\left[\begin{matrix}1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} \end{matrix}\right]$ اور $v_1=\left[\begin{matrix}-1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} \end{matrix}\right]$ اب نکتہ ‭(x,y)‬ کو ان سبز سمتیہ کے لکیری جوڑ کے طور پر یوں لکھا جا سکتا ہے: $\left[\begin{matrix}x \\ y \end{matrix}\right] = a v_0 + b v_1 = a \left[\begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}\right] + b \left[\begin{matrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}\right]$ یعنی سرخ ایکسس کے نکتہ ‭(x,y) ‬ کو سبز ایکسس میں نکتہ ‭(a,b)‬ کہا جائے گا۔ دوسرے الفاظ میں جو نکتہ عبری سمتیہ ‭e0, e1 ‬ کے حوالے سے ‭(x=0.8, y=1.4)‬ تھا، وہی نکتہ عبری سمتیہ ‭v0, v1 ‬ کے حوالے سے ‭(a=1.56, b=0.42)‬ کہلائے گا۔

اب ‭e0, e1, v0, v1‬ بھی ایک عبری سمتیہ کا مجموعہ ہے۔ اس مجموعہ کی مدد سے ہم اسی ‭(x=0.8, y=1.4) ‬ نکتہ کو لکھ کر دیکھتے ہیں: $\left[\begin{matrix} 0.8 \\ 1.4 \end{matrix} \right] = c_0 e_0 + c_1 e_1 + c_2 v_0 + c_3 v_1 = c_0 \left[\begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix}\right] + c_1 \left[\begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix}\right] + c_2 \left[\begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}\right] + c_3 \left[\begin{matrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}\right]$
یا
$\left[\begin{matrix} 1 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & 1 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} c_0 \\ c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0.8 \\ 1.4 \end{matrix}\right]$ غور کرو کہ اس میٹرکس کے ستون عبری سمتیہ ہیں، اور ہمیں یہ یکلخت لکیری مساوات کا نظام $\begin{matrix} c_0 + \frac{1}{\sqrt{2}} c_2 - \frac{1}{\sqrt{2}} c_3 &=& 0.8 \\ c_1 + \frac{1}{\sqrt{2}} c_2 + \frac{1}{\sqrt{2}} c_3 &=& 1.4 \end{matrix}$ حل کر کے ‭c0, c1, c2, c3‬ نکالنا ہیں۔ اب چونکہ مساوات صرف دو ہیں جبکہ متغیر چار، اس لیے ہم کسی بھی دو متغیر کو اپنی مرضی کی قیمت دے کر باقی دو متغیر کی قیمتیں مساوات سے نکال سکتے ہیں۔ دوسرے الفاظ میں مساوات کے لامحدود حل ہیں، جن میں سے چند یہ ہیں:

‭

Possible representations of (x,y) w.r.t. spanning vectors e0, e1, v0, v1
c0	c1	c2	c3
0.5	0.5	0.85	0.42
0.1	0.7	1.0	0
2	‎-3	2.26	3.96

‬

اس سے پتہ چلا کہ عبری سمتیہ‭e0, e1, v0, v1‬ کے حوالہ سے نکات کا ایک واحد روپ نہیں۔ شکل ۴ سے ظاہر ہے کہ $\mathbb{R}^2$ میں کوئی بھی دو سمتیہ جو آپس میں متوازی نہ ہوں، نکات کا واحد روپ نکالنے کے لیے کافی ہیں۔ $\mathbb{R}^2$ میں دو سے زیادہ سمتیہ چننے سے ایک ہی نکتہ کے بہت سے روپ ممکن ہو جاتے ہیں۔ یہ بات ہمیں بنیاد سمتیہ کی طرف لے جاتی ہے۔

        اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں (LTR) پڑھیۓ        ریاضی علامات

Retrieved from "http://ur.wikipedia.org../../../%D8%B9/%D8%A8/%D8%B1/%D8%B9%D8%A8%D8%B1%DB%8C_%D8%B3%D9%85%D8%AA%DB%8C%DB%81.html"

زمرہ جات: لکیری الجبرا | ریاضیات

عبری سمتیہ

وکیپیڈیا سے

Views

رہنمائی

ساتھی منصوبے

تلاش