مستقل نکتہ

وکیپیڈیا سے

اردو اصطلاح	English term
مستقل نکتہ	Fixed point

تعریف: ایک فنکشن $\ f(x)$ کا مستقل نکتہ ایسے $\ x^*$ کو کہا جاتا ہے، اگر

$\ x^* = f(x^*)$

واضح رہے کہ ہر فنکشن کے لیے اس کا مستقل نکتہ ہونا ضروری نہیں۔

اگر مستقل نکتہ باکشش ہو، تو کسی بھی نکتہ پر فنکشن کے جواب پر فنکشن کی تکرار کرنے سے مستقل نکتہ تک پہنچا جا سکتا ہے۔

$f\left(\cdots f\left(f\left(f(x)\right)\right)\right) \to x^{*}$

اسے ہم ایک مثال سے واضح کرتے ہیں:

n	$X n$
0	45
1	22.72
2	11.80
3	6.75
4	4.86
5	4.49

[ترمیم] مثال

اردو اصطلاح	English term
تکرار متوالیہ نسبت ناصف باکشش	ٰIteration recurrence relation bisector attractive

تصویر 1

درج ذیل متوالیہ نسبت، عدد a کا مربع جزر (square root) نکالنے کے لیے استعمال ہو سکتی ہے۔

$X_n = \frac{1}{2} \left( X_{n-1} + \frac{a}{X_{n-1}} \right) \,,\, n=0,1,2,\cdots$

$X_{\infty}=\sqrt{a}$ اس کا مستقل نکتہ ہے، جو اس مساوات کو یوں لکھ کر

$x = \frac{1}{2} \left( x + \frac{a}{x} \right)$

تسلی کی جا سکتی ہے کہ $x=\sqrt{a}$ اس کا حل ہے۔

جدول میں اس متوالیہ نسبت مساوات کی $a = 20$ کے لیے کچھ تکرار دکھائی گئ ہیں۔ ہم $X 0 = 45$ سے شروع کرتے ہیں۔ دیکھو یہ جلد ہی اپنے مستقل نکتہ $\sqrt{20} \approx 4.472$ کے قریب پہنچ جاتا ہے۔ اسی عمل کو گراف کے زریعہ تصویر 1 میں دکھایا گیا ہے۔ اس تصویر میں سبز رنگ سے فنکشن (map)

$y = f(x) = \frac{1}{2} \left( x + \frac{a}{x} \right)$

دکھائی گئ ہے، جبکہ نیلے رنگ میں خط تنصیف

y = x

(ناصف)

دکھایا ہے۔ ان گراف (نیلے ناصف اور سبز فنکشن) کا سنگم اس متوالیہ نسبت کا مستقل نکتہ ہے۔ تکرار کے عمل کو ہم یوں سمجھ سکتے ہیں۔ $X 1$ کو متوالیہ مساوات سے گزارنے کے عمل کو $X 1$ سے سبز گراف تک جاتی ہوئی عمودی سرخ لکیر سے دکھایا گیا ہے، جہاں سے افقی سرخ لکیر اسے نیلی لکیر سے منعکس ہو کر $X 2$ بنتا دکھاتی ہے۔ اس طرح ایک تکرار مکمل ہوتی ہے۔

یہ تصویر بنانے کا سائیلیب سکرپت یہاں ہے۔

[ترمیم] اور دیکھیے

مستقل نکتہ اردو

Urdu Fixed point

        اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں (LTR) پڑھیۓ        ریاضی علامات

Retrieved from "http://ur.wikipedia.org../../../%D9%85/%D8%B3/%D8%AA/%D9%85%D8%B3%D8%AA%D9%82%D9%84_%D9%86%DA%A9%D8%AA%DB%81.html"

زمرہ: ریاضیات

مستقل نکتہ

وکیپیڈیا سے

[ترمیم] مثال

[ترمیم] اور دیکھیے

Views

رہنمائی

ساتھی منصوبے

تلاش

دیگر زبانیں