λ演算
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λ演算（lambda calculus），亦作λ積分，是一套用于研究函数定义、函数应用和递归的形式系统。它由丘奇（Alonzo Church）和他的學生克萊因（Stephen Cole Kleene）在20世纪30年代引入。Church 运用λ演算在1936年给出判定性问题（Entscheidungsproblem）的一个否定的答案。这种演算可以用来清晰地定义什么是一个可计算函数。关于两个 lambda 演算表达式是否等价的命题无法通过一个“通用的算法”来解决，这是不可判定性能够证明的头一个问题，甚至还在停机问题之先。Lambda 演算对函数式编程有巨大的影响，特别是Lisp 语言。
Lambda 演算可以被称为最小的通用程序设计语言。它包括一条变换规则 (变量替换) 和一条函数定义方式，Lambda 演算之通用在于，任何一个可计算函数都能用这种形式来表达和求值。因而，它是等价于图灵机的。尽管如此，Lambda 演算强调的是变换规则的运用，而非实现它们的具体机器。可以认为这是一种更接近软件而非硬件的方式。
本文讨论的是 Church 的“无类型 lambda 演算”，此后，一些有类型 lambda 演算已经被研究出来。
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[编辑] 历史
最开始，Church 试图创制一套完整的形式系统作为数学的基础，当他发现这个系统易受罗素悖论的影响时，就把 lambda 演算单独分离出来，用于研究可计算性，最终导致了他对判定性问题的否定回答。
[编辑] 非形式化的描述
在 lambda 演算中，每个表达式都代表一个只有单独参数的函数，这个函数的参数本身也是一个只有单一参数的函数，同时，函数的值是又一个只有单一参数的函数。函数是通过 lambda 表达式匿名地定义的，这个表达式说明了此函数将对其参数进行什么操作。例如，“加 2”函数 f(x) = x + 2 可以用 lambda 演算表示为 λ x. x + 2 (λ y. y + 2 也是一样的，参数的取名无关紧要) 而 f(3) 的值可以写作 (λ x. x + 2) 3。函数的作用 (application) 是左结合的：f x y = (f x) y。考虑这么一个函数：它把一个函数作为参数，这个函数将被作用在 3 上：λ f. f 3。如果把这个 (用函数作参数的) 函数作用于我们先前的“加 2”函数上：(λ f. f 3) (λ x. x+2)，则明显地，下述三个表达式：
- (λ f. f 3) (λ x. x+2) 与 (λ x. x + 2) 3 与 3 + 2
是等价的。有两个参数的函数可以通过 lambda 演算这么表达：一个单一参数的函数的返回值又是一个单一参数的函数 (参见 Currying)。例如，函数 f(x, y) = x - y 可以写作 λ x. λ y. x - y。下述三个表达式：
- (λ x. λ y. x - y) 7 2 与 (λ y. 7 - y) 2 与 7 - 2
也是等价的。然而这种 lambda 表达式之间的等价性无法找到一个通用的函数来判定。
并非所有的 lambda 表达式都可以规约至上述那样的确定值，考虑
- (λ x. x x) (λ x. x x)
或
- (λ x. x x x) (λ x. x x x)
然后试图把第一个函数作用在它的参数上。 (λ x. x x) 被称为 ω 组合子，((λ x. x x) (λ x. x x)) 被称为 Ω，而 ((λ x. x x x) (λ x. x x x)) 被称为 Ω2，以此类推。
若仅形式化函数作用的概念而不允许 lambda 表达式，就得到了组合子逻辑。
[编辑] 形式化定义
形式化地，我们从一个标识符 (identifier) 的可数无穷集合开始，比如 {a, b, c, ..., x, y, z, x1, x2, ...}，则所有的 lambda 表达式可以通过下述以 BNF 范式表达的上下文无关文法描述：
- <expr> ::= <identifier>
- <expr> ::= (λ <identifier> . <expr>)
- <expr> ::= (<expr> <expr>)
头两条规则用来生成函数，而第三条描述了函数是如何作用在参数上的。通常，lambda 抽象 (规则 2) 和函数作用 (规则 3) 中的括弧在不会产生歧义的情况下可以省略。如下假定保证了不会产生歧义：(1) 函数的作用是左结合的，和 (2) lambda 操作符被绑定到它后面的整个表达式。例如，表达式 ((λ x. (x x)) (λ y. y)) 可以简写成 (λ x. x x) λ y.y。
类似 λ x. (x y) 这样的 lambda 表达式并未定义一个函数，因为变量 y 的出现是自由的，即它并没有被绑定到表达式中的任何一个 λ 上。变量出现次数的绑定是通过下述规则 (基于 lambda 表达式的结构归纳地) 定义的：
- 在表达式 V 中，V 是变量，则这个表达式里变量 V 只有一次自由出现。
- 在表达式 λ V . E 中 (V 是变量，E 是另一个表达式)，变量自由出现的次数是 E 中变量自由出现的次数，减去 E 中 V 自由出现的次数。因而，E 中那些 V 被称为绑定在 λ 上。
- 在表达式 (E E' ) 中，变量自由出现的次数是 E 和 E' 中变量自由出现次数之和。
在 lambda 表达式的集合上定义了一个等价关系 (在此用 == 标注)，“两个表达式其实表示的是同一个函数”这样的直觉性判断即由此表述，这种等价关系是通过所谓的“alpha-变换规则”和“beta-归约规则”。
[编辑] α-变换
Alpha-变换规则表达的是，被绑定变量的名称是不重要的。比如说 λx.x 和 λy.y 是同一个函数。尽管如此，这条规则并非像它看起来这么简单，关于被绑定的变量能否由另一个替换有一系列的限制。
Alpha-变换规则陈述的是，若 V 与 W 均为变量，E 是一个 lambda 表达式，同时 E[V:=W] 是指把表达式 E 中的所有的 V 的自由出现都替换为 W，那么在 W 不是 E 中的一个自由出现，且如果 W 替换了 V，W 不会被 E 中的 λ 绑定的情况下，有
- λ V. E == λ W. E[V:=W]
这条规则告诉我们，例如 λ x. (λ x. x) x 这样的表达式和 λ y. (λ x. x) y 是一样的。
[编辑] β-归约
Beta-归约规则表达的是函数作用的概念。它陈述了若所有的 E' 的自由出现在 E [V:=E' ] 中仍然是自由的情况下，有
- ((λ V. E ) E' ) == E [V:=E' ]
成立。
== 关系被定义为满足上述两条规则的最小等价关系 (即在这个等价关系中减去任何一个映射，它将不再是一个等价关系)。
对上述等价关系的一个更具操作性的定义可以这样获得：只允许从左至右来应用规则。不允许任何 beta 归约的 lambda 表达式被称为Beta范式。并非所有的 lambda 表达式都存在与之等价的范式，若存在，则对于相同的形式参数命名而言是唯一的。此外，有一个算法用户计算范式，不断地把最左边的形式参数替换为实际参数，直到无法再作任何可能的规约为止。这个算法当且仅当 lambda 表达式存在一个范式时才会停止。Church-Rosser 定理 说明了，当且仅当两个表达式等价时，它们会在形式参数换名后得到同一个范式。
[编辑] η-变换
前两条规则之后，还可以加入第三条规则，eta-变换，来形成一个新的等价关系。Eta-变换表达的是外延性的概念，在这里外延性指的是，两个函数对于所有的参数得到的结果都一致，当且仅当它们是同一个函数。Eta-变换可以令 λ x . f x 和 f 相互转换，只要 x 不是 f 中的自由出现。下面说明了为何这条规则和外延性是等价的：
若 f 与 g 外延地等价，即，f a == g a 对所有的 lambda 表达式 a 成立，则当取 a 为在 f 中不是自由出现的变量 x 时，我们有 f x == g x，因此 λ x . f x == λ x . g x，由 eta-变换 f == g。所以只要 eta-变换是有效的，会得到外延性也是有效的。
相反地，若外延性是有效的，则由 beta-归约，对所有的 y 有 (λ x . f x) y == f y，可得 λ x . f x == f，即 eta-变换也是有效的。
[编辑] lambda 演算中的运算
在 lambda 演算中有许多方式都可以定义自然数，但最常见的还是邱奇数，下面是它们的定义：
- 0 = λ f. λ x. x
- 1 = λ f. λ x. f x
- 2 = λ f. λ x. f (f x)
- 3 = λ f. λ x. f (f (f x))
以此类推。直观地说，lambda 演算中的数字 n 就是一个把函数 f 作为参数并以 f 的 n 次幂为返回值的函数。换句话说，Church 整数是一个高阶函数 -- 以单一参数函数 f 为参数，返回另一个单一参数的函数。
(注意在 Church 原来的 lambda 演算中，lambda 表达式的形式参数在函数体中至少出现一次，这使得我们无法像上面那样定义 0) 在 Church 整数定义的基础上，我们可以定义一个后继函数，它以 n 为参数，返回 n + 1：
- SUCC = λ n. λ f. λ x. f (n f x)
加法是这样定义的：
- PLUS = λ m. λ n. λ f. λ x. m f (n f x)
PLUS 可以被看作以两个自然数为参数的函数，它返回的也是一个自然数。你可以试试验证
- PLUS 2 3 与 5
是否等价。乘法可以这样定义：
- MULT = λ m. λ n. m (PLUS n) 0,
即 m 乘以 n 等于在零的基础上 n 次加 m。另一种方式是
- MULT = λ m. λ n. λ f. m (n f)
正整数 n 的前驱元 (predecessesor) PRED n = n - 1 要复杂一些：
- PRED = λ n. λ f. λ x. n (λ g. λ h. h (g f)) (λ u. x) (λ u. u)
或者
- PRED = λ n. n (λ g. λ k. (g 1) (λ u. PLUS (g k) 1) k) (λ l. 0) 0
注意 (g 1) (λ u. PLUS (g k) 1) k 表示的是，当 g(1) 是零时，表达式的值是 k，否则是 g(k) + 1。
[编辑] 逻辑与谓词
习惯上，下述两个定义 (称为 Church 布尔值) 被用作 TRUE 和 FALSE 这样的布尔值：
- TRUE := λ x y. x
- FALSE := λ x y. y
- (注意 FALSE 等价于前面定义邱奇数零)
接着，通过这两个 λ-项，我们可以定义一些逻辑运算:
- AND := λ p q. p q FALSE
- OR := λ p q. p TRUE q
- NOT := λ p. p FALSE TRUE
- IFTHENELSE := λ p x y. p x y
我们现在可以计算一些逻辑函数，比如:
- AND TRUE FALSE
- ≡ (λ p q. p q FALSE) TRUE FALSE →β TRUE FALSE FALSE
- ≡ (λ x y. x) FALSE FALSE →β FALSE
我们见到 AND TRUE FALSE 等价于 FALSE。
“谓词”是指返回布尔值的函数。最基本的一个谓词是 ISZERO，当且仅当其参数为零时返回真，否则返回假：
- ISZERO := λ n. n (λ x. FALSE) TRUE
运用谓词与上述 TRUE 和 FALSE 的定义，使得 "if-then-else" 这类语句很容易用 lambda 演算写出。
[编辑] 有序对
有序对(2-元组)数据类型可以用 TRUE、FALSE 和 IF 来定义。
- CONS := λ x y. λ p. IF p x y
- CAR := λ x. x TRUE
- CDR := λ x. x FALSE
链表数据类型可以定义为，要么是为空列表保留的值(e.g. FALSE)，要么是 CONS 一个元素和一个更小的列表。
[编辑] 递归
递归是使用函数自身的函数定义；在表面上，lambda 演算不允许这样。但是这种印象是误解。考虑个例子，阶乘函数 f(n) 递归的定义为
- f(n) = 1, if n = 0; and n·f(n-1), if n>0.
在 lambda 演算中，你不能定义包含自身的函数。要避免这样，你可以开始于定义一个函数，这里叫 g，它接受一个函数 f 作为参数并返回接受 n 作为参数的另一个函数:
- g := λ f n. (1, if n = 0; and n·f(n-1), if n>0).
函数 g 返回要么常量 1，要么函数 f 对 n-1 的 n 次应用。使用 ISZERO 谓词，和上面描述的布尔和代数定义，函数 g 可以用 lambda 演算来定义。
但是，g 自身仍然不是递归的；为了使用 g 来建立递归函数，作为 f 而传递给 g 的函数必须有特殊的性质。也就是说，作为 f 传递的函数必须展开为调用带有一个参数的函数 g -- 并且这个参数必须再次是作为 f 传递的函数!
换句话说，f 必须展开为 g(f)。这个到 g 的调用将接着展开为上面的阶乘函数并计算下至另一层递归。在这个展开中函数 f 将再次出现，并将被再次展开为 g(f) 并继续递归。这种函数，这里的 f = g(f)，叫做g 的不动点，并且它可以在 lambda 演算中使用叫做悖论算子或不动点算子来使用，它被表示为 Y -- Y 组合子:
- Y = λ g. (λ x. g (x x)) (λ x. g (x x))
在 lambda 演算中，Y g 是 g 的不动点，因为它展开为 g (Y g)。现在，要完成我们对阶乘函数的递归调用，我们可以简单的调用 g (Y g) n，这里的 n 是我们要计算它的阶乘的数。
比如假定 n = 5，它展开为:
- (λ n.(1, if n = 0; and n·((Y g)(n-1)), if n>0)) 5
- 1, if 5 = 0; and 5·(g(Y g)(5-1)), if 5>0
- 5·(g(Y g) 4)
- 5·(λ n. (1, if n = 0; and n·((Y g)(n-1)), if n>0) 4)
- 5·(1, if 4 = 0; and 4·(g(Y g)(4-1)), if 4>0)
- 5·(4·(g(Y g) 3))
- 5·(4·(λ n. (1, if n = 0; and n·((Y g)(n-1)), if n>0) 3))
- 5·(4·(1, if 3 = 0; and 3·(g(Y g)(3-1)), if 3>0))
- 5·(4·(3·(g(Y g) 2)))
- ...
等等，递归的求值算法的结构。所有递归定义的函数都可以看作某个其他适当的函数的不动点，因此，使用 Y 所有递归定义的函数都可以表达为 lambda 表达式。特别是，我们现在可以明晰的递归定义自然数的减法、乘法和比较谓词。
[编辑] 可计算函数和 lambda 演算
自然数的函数 F: N → N 是可计算函数，当且仅当存在着一个 lambda 表达式 f，使得对于 N 中的每对 x, y 都有 F(x) = y 当且仅当 f x == y，这里的 x 和 y 分别是对应于 x 和 y 的邱奇数。这是定义可计算性的多种方式之一；关于其他方式很它们的等价者的讨论请参见邱奇-图灵论题。
