乘法

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乘法，最單純的意義就是指將相同的數加起來的捷徑。其運算結果稱為積。

[编辑] 表示法

乘法可以用幾種方法表示。以下的式子都是表示“五乘以二”：

$5\times 2$
$5\cdot 2$
$(5)2$ ， $5(2)$ ， $(5)(2)$ ， $5[2]$ ， $[5]2$ ， $[5][2]$
$5$ * $2$

古代常用的方法是將兩個數並排，沒有甚麼特別的符號來表示乘法。

以「 $\times$ 」表示乘法是威廉·奧特雷德最先使用，分別於一篇現時相信是於1618年他寫的附錄，和約於1628年寫作的、1631年出版的書《數學之鑰》（Clavis Mathematicae）內出現。以 $\times$ 表示乘法是現在最流行的寫法。

以「 $\cdot$ 」表示乘法現在用於德國和法國等國家，最早由托玛斯·哈里奧特在1631年出版的著作使用，但對這個用法較有影響力的人是萊布尼茲。

因為星號「*」是鍵盤必備的符號，電腦常用星號表示乘號，第一次在計算機使用這個用法的是FORTRAN（福傳）zh-cn:編程;zh-tw:程式語言，事實上可以追溯到更早——1659年，Johann Rahn（1622年—1676年）在Teutsche Algebra一書中首次使用；但筆算時甚少使用星號。

代数中，乘號經常省略掉，形式如 $5 x$ 和 $x y$ 。若變數多於一個字母，很易令人混淆。這種表示法不會用於只有數字時，即 $52$ 不會表示 $5\times 2$ 。

乘積可以用希臘字母大写 Π（Pi， $Π$ $π$ ）來表示：

$\prod_{i=m}^{n} x_{i} := x_{m} \cdot x_{m+1} \cdot x_{m+2} \cdot \cdots \cdot x_{n-1} \cdot x_{n}$

[编辑] 定義

兩個整數的積是︰

$mn := \sum_{k=1}^n m$

這是“將m加到自己n次”的簡化說法。更清晰來說︰

$m\times n = m + m + m + \dots + m$

使用上面的定義，我們很易找到一些乘法的性質︰

將任何數乘以一都會等於該數本身，即 $1\times x = x$ ，稱為單位律。

將任何數乘以零，即是甚麼也沒幹過，結果就是零，即 $0 \times x = 0$ 。

當 $x$ 是量， $y$ 是自然數，乘法的递归定義︰

$0 \times x = 0$

$x \times y = x + x \times (y-1)$

[编辑] 計算

計算機有特別的算法來處理大數之間的相乘，見乘法算法。
中國小學生通常要背誦九因歌（九九表）來學習乘法。
史豐收速算法提出了用“本個+後進”的方式來計算乘法。
尺規作圖作乘法的方法：給定長為 $1$ 的線，以及兩條線 $A B$ 和 $A C$ ，求長度為該兩條的線長度的積的線。解法：設該兩條線分別為 $A B$ 和 $A C$ ，在 $A B$ 上畫出點 $D$ 使 $D A = 1$ ，聯 $D$ 、 $C$ 為 $D C$ 。畫一條通過 $B$ 、平行 $D C$ 的線，延長 $A C$ ，此兩條線的交於 $E$ ， $E B$ 即為所求之線。