伽羅瓦ç†è«–
维基百科,自由的百科全书
在数å¦ä¸ï¼Œç‰¹åˆ«æ˜¯æŠ½è±¡ä»£æ•°ç†è®ºä¸ï¼Œç”±åŸƒç“¦é‡Œæ–¯ç‰¹Â·ä¼½ç½—瓦得å的伽罗瓦ç†è®ºæ供了域论和群论之间的è”系。应用伽罗瓦ç†è®ºï¼ŒåŸŸè®ºä¸çš„一些问题å¯ä»¥åŒ–简为更简å•æ˜“懂的群论问题。
伽罗瓦最åˆä½¿ç”¨ç½®æ¢ç¾¤æ¥æ述给定的多项å¼çš„æ ¹ä¸Žæ ¹ä¹‹é—´çš„å…³ç³»ã€‚ç”±æˆ´å¾·é‡‘ã€åˆ©å¥¥æ³¢å¾·Â·å…‹ç½—内克ã€è‰¾æ‘©Â·é˜¿å»·ç‰äººå‘展起æ¥çš„现代伽罗瓦ç†è®ºå¼•å…¥äº†å…³äºŽåŸŸæ‰©å¼ åŠå…¶è‡ªåŒæž„çš„ç ”ç©¶ã€‚
伽罗瓦ç†è®ºçš„进一æ¥æŠ½è±¡ä¸ºä¼½ç½—瓦连接ç†è®ºã€‚
目录[éšè—] |
[编辑] 在ç»å…¸é—®é¢˜ä¸Šçš„应用
伽罗瓦ç†è®ºçš„诞生最åˆæ˜¯ç”±äºŽå¦‚下的现在称之为阿è´å°”-é²è²å°¼å®šç†çš„问题:
- "为什么五次åŠæ›´é«˜æ¬¡çš„代数方程没有一般的代数解法,å³è¿™æ ·çš„方程ä¸èƒ½ç”±æ–¹ç¨‹çš„系数ç»æœ‰é™æ¬¡å››åˆ™è¿ç®—和开方è¿ç®—æ±‚æ ¹ï¼Ÿ"
伽罗瓦ç†è®ºä¸ä»…对于这个问题æ供了一个漂亮的解ç”,而且详细的解释了为什么四次åŠæ›´ä½Žæ¬¡æ–¹ç¨‹æœ‰ä»£æ•°è§£ï¼Œä»¥åŠå®ƒä»¬çš„ä»£æ•°è§£ä¸ºä»€ä¹ˆæ˜¯é‚£æ ·çš„å½¢å¼ã€‚
伽罗瓦ç†è®ºè¿˜ç»™å‡ºäº†ä¸€äº›æœ‰å…³å°ºè§„作图的问题的清晰洞察。它给出了所有å¯ä»¥å°ºè§„作图的长度比的一个优雅的æè¿°ã€‚è¿™æ ·ï¼Œä¸€äº›ç»å…¸å‡ 何问题的解ç”å˜å¾—相对容易:
- "哪些æ£å¤šè¾¹å½¢æ˜¯å¯ä»¥å°ºè§„åšå‡ºçš„?"
- "为何ä¸èƒ½ä¸‰ç‰åˆ†ä»»æ„角?"
[编辑] 伽罗瓦ç†è®ºçš„ç½®æ¢ç¾¤æè¿°
如果我们给定一个多项å¼ï¼Œå®ƒçš„ä¸€äº›æ ¹å¯èƒ½æ˜¯è¢«ä¸åŒçš„代数方程è”系起æ¥çš„ã€‚ä¾‹å¦‚ï¼Œæœ‰ä¸¤ä¸ªæ ¹ A å’Œ B,它们满足方程 A2 + 5B3 = 7。伽罗瓦ç†è®ºçš„æ ¸å¿ƒæ€æƒ³æ˜¯è€ƒè™‘å…·æœ‰ä»¥ä¸‹æ€§è´¨çš„æ ¹çš„ç½®æ¢ï¼šè¿™äº›æ ¹æ‰€æ»¡è¶³çš„任何代数方程,在置æ¢ä¹‹åŽä¹Ÿä¾ç„¶æˆç«‹ã€‚一个é‡è¦çš„é™åˆ¶æ¡ä»¶æ˜¯æˆ‘们è¦æŠŠä»£æ•°æ–¹ç¨‹çš„系数é™å®šä¸ºæœ‰ç†æ•°ã€‚(其实也å¯ä»¥æŠŠç³»æ•°é™å®šåœ¨å…¶ä»–的一个给定的域,但是为了简å•èµ·è§ï¼Œæˆ‘们é™åˆ¶åœ¨æœ‰ç†æ•°åŸŸã€‚)
这些置æ¢å½¢æˆäº†ä¸€ä¸ªç½®æ¢ç¾¤ï¼Œä¹Ÿç§°ä¸ºè¿™ä¸ªå¤šé¡¹å¼ï¼ˆåœ¨å®žæ•°åŸŸä¸Šï¼‰çš„伽罗瓦群。这å¯ä»¥å¾ˆæ¸…晰的举例说明。
[编辑] 第一个例å:二次方程
考虑如下的一元二次方程:
- x2 − 4x + 1 = 0.
åº”ç”¨ä¸€å…ƒäºŒæ¬¡æ–¹ç¨‹çš„æ±‚æ ¹å…¬å¼ï¼Œæˆ‘们å¯ä»¥æ±‚å‡ºå®ƒçš„ä¸¤ä¸ªæ ¹ä¸º
- A = 2 + √3, 和
- B = 2 − √3.
A 和 B 满足的代数方程例如:
- A + B = 4, 和
- AB = 1.
显然在这些方程ä¸ï¼Œå¦‚æžœæˆ‘ä»¬äº¤æ¢ A å’Œ B,我们åŒæ ·èƒ½å¾—到真命题。例如,方程 A + B = 4 简å•çš„å˜æˆäº† B + A = 4。进一æ¥çš„,这对于 A å’Œ B 满足的所有å¯èƒ½çš„代数方程都æˆç«‹ã€‚è¯æ˜Žè¿™ä¸ªç»“论需è¦å¯¹ç§°å¤šé¡¹å¼çš„ç†è®ºã€‚
我们å¯ä»¥æ€»ç»“å‡ºï¼Œå¤šé¡¹å¼ x2 − 4x + 1 的伽罗瓦群由两个置æ¢æž„æˆï¼šä¿æŒ A å’Œ B ä¸å˜çš„æ’åŒå˜æ¢ï¼Œä»¥åŠäº¤æ¢ A 与 B ä½ç½®çš„对æ¢ã€‚å®ƒæ˜¯ä¸€ä¸ªäºŒé˜¶å¾ªçŽ¯ç¾¤ï¼Œå› æ¤åŒæž„于 Z/2Z。
这里会有人产生疑问: A å’Œ B åŒæ ·æ»¡è¶³å¦ä¸€ä¸ªä»£æ•°æ–¹ç¨‹ A − B − 2√3 = 0ï¼Œä½†äº¤æ¢ A å’Œ B 时这个方程并ä¸èƒ½ä¿æŒä¸å˜ã€‚其实这并ä¸æ˜¯ä¸ªé—®é¢˜ï¼Œå› 为它ä¸æ˜¯æœ‰ç†ç³»æ•°æ–¹ç¨‹ï¼šâˆš3 æ˜¯ä¸€ä¸ªæ— ç†æ•°ã€‚
类似地å¯ä»¥è®¨è®ºä»»æ„äºŒæ¬¡å¤šé¡¹å¼ ax2 + bx + c, å…¶ä¸ a, b å’Œ c 都是有ç†æ•°ã€‚
- 如果多项å¼åªæœ‰ä¸€ä¸ªæ ¹ï¼Œä¾‹å¦‚ x2 − 4x + 4 = (x−2)2, 那么伽罗瓦群是平凡的;也就是说,它åªåŒ…括æ’åŒå˜æ¢ã€‚
- 如果多项å¼æœ‰ä¸¤ä¸ªä¸åŒçš„有ç†æ ¹ï¼Œä¾‹å¦‚ x2 − 3x + 2 = (x−2)(x−1), 伽罗瓦群åŒæ ·æ˜¯å¹³å‡¡çš„。
- 如果多项å¼æœ‰ä¸¤ä¸ªæ— ç†æ ¹(åŒ…æ‹¬æ ¹æ˜¯å¤æ•°çš„情况), 那么伽罗瓦群包括上é¢ä¾‹åä¸æ‰€æ述的两个置æ¢ã€‚
[编辑] 第二个例å — 有些技巧性
考虑多项å¼
- x4 − 10 x2 + 1,
也å¯ä»¥å†™æˆ
- (x2 − 5)2 − 24.
我们åŒæ ·å¸Œæœ›åœ¨æœ‰ç†æ•°åŸŸä¸Šæ述这个多项å¼çš„伽罗瓦群。这个多项å¼æœ‰å››ä¸ªæ ¹ï¼š
- A = √2 + √3,
- B = √2 − √3,
- C = −√2 + √3,
- D = −√2 − √3.
è¿™å››ä¸ªæ ¹æœ‰ 24 ç§å¯èƒ½çš„排列,但这些排列并ä¸éƒ½æ˜¯ä¼½ç½—ç“¦ç¾¤çš„å…ƒç´ ã€‚ä¼½ç½—ç“¦ç¾¤çš„å…ƒç´ å¿…é¡»ä¿æŒæ‰€æœ‰ A, B, C å’Œ D 满足的有ç†ç³»æ•°ä»£æ•°æ–¹ç¨‹ã€‚è¿™æ ·çš„æ–¹ç¨‹ä¾‹å¦‚ï¼š
- A + D = 0.
å› æ¤ç½®æ¢
- (A, B, C, D) → (A, B, D, C)
是ä¸å…è®¸çš„ï¼Œå› ä¸ºå®ƒæŠŠçœŸç‰å¼ A + D = 0 å˜æˆäº†å‡ç‰å¼ A + C = 0ï¼Œå› ä¸º A + C = 2√3 ≠0.
è¿™äº›æ ¹æ»¡è¶³çš„å¦ä¸€ä¸ªç‰å¼ä¸ºï¼š
- (A + B)2 = 8.
这也会去掉一些置æ¢ï¼Œä¾‹å¦‚:
- (A, B, C, D) → (A, C, B, D).
如æ¤ç»§ç»ä¸‹åŽ»ï¼Œæˆ‘们å¯ä»¥æ±‚出满足所有ç‰å¼çš„ç½®æ¢åªæœ‰ï¼š
- (A, B, C, D) → (A, B, C, D)
- (A, B, C, D) → (C, D, A, B)
- (A, B, C, D) → (B, A, D, C)
- (A, B, C, D) → (D, C, B, A),
å› æ¤ä¼½ç½—瓦群åŒæž„äºŽå…‹èŽ±å› å››å…ƒç¾¤.
[编辑] 现代的域论æè¿°
çŽ°ä»£çš„ç ”ç©¶æ–¹æ³•æ˜¯ä»ŽåŸŸæ‰©å¼ L/K å¼€å§‹ï¼Œå¹¶åˆ†æž L/K 的自åŒæž„群。进一æ¥çš„解释和例å请å‚è§å…³äºŽä¼½ç½—ç“¦ç¾¤çš„æ–‡ç« ã€‚
这两ç§æ述的关系如下说明。问题ä¸çš„多项å¼çš„系数应当属于基域 K。扩域 L 应当是在域 K ä¸æ·»åŠ 多项å¼çš„æ ¹ä¹‹åŽæ‰€å¾—到的域。 任一满足上述ä¿æŒå¤šé¡¹å¼æ€§è´¨çš„æ ¹çš„ç½®æ¢ï¼Œéƒ½å¯¹åº” L/K 的一个自åŒæž„,å之亦然。
在上é¢çš„第一个例åä¸ï¼Œæˆ‘ä»¬ç ”ç©¶çš„æ˜¯åŸŸæ‰©å¼ Q(√3)/Qï¼Œå…¶ä¸ Q 是有ç†æ•°åŸŸï¼Œè€Œ Q(√3) 是在 Q ä¸åŠ å…¥ √3 之åŽæ‰€å¾—到的域。在第二个例åä¸ï¼Œæˆ‘ä»¬ç ”ç©¶çš„æ˜¯åŸŸæ‰©å¼ Q(A,B,C,D)/Q。
现代的方法比起置æ¢ç¾¤çš„æ–¹æ³•ï¼Œæœ‰å‡ ç‚¹ä¼˜åŠ¿ï¼š
- 它使得伽罗瓦ç†è®ºåŸºæœ¬å®šç†çš„æ述更为简æ´ï¼›
- 在数å¦ä¸çš„很多其他领域需è¦ä½¿ç”¨ Q 以外的基域。例如,在代数数论ä¸ï¼Œäººä»¬ç»å¸¸åœ¨ä»£æ•°æ•°åŸŸã€æœ‰é™åŸŸå’Œå®šåŸŸåœºä¸Šåº”用伽罗瓦ç†è®ºã€‚
- å®ƒä½¿äººä»¬æ›´å®¹æ˜“ç ”ç©¶æ— ç©·æ‰©å¼ ã€‚è¿™åœ¨ä»£æ•°æ•°è®ºä¸åŒæ ·å¾ˆé‡è¦ï¼Œä¾‹å¦‚人们ç»å¸¸éœ€è¦ç ”究 Q çš„ç»å¯¹ä¼½ç½—瓦群,å³å½“ K 是 Q 的一个代数é—包时,K/Q 的伽罗瓦群。
- 它使得人们å¯ä»¥ç ”究ä¸å¯åˆ†æ‰©å¼ 。这在ç»å…¸æ¡†æž¶ä¸å¹¶ä¸æˆä¸ºé—®é¢˜ï¼Œå› 为这时总是å¯ä»¥å‡å®šä¸ºç‰¹å¾0çš„ï¼›ä½†åœ¨æ•°è®ºå’Œä»£æ•°å‡ ä½•ä¸ç»å¸¸å‡ºçŽ°ç‰¹å¾éž0的情况。
- 它去除了人们对多项å¼æ±‚æ ¹çš„ä¾èµ–性。也就是说,ä¸åŒçš„多项å¼å¯èƒ½äº§ç”ŸåŒä¸€ä¸ªæ‰©åŸŸï¼ŒçŽ°ä»£çš„方法å¯ä»¥è¯†åˆ«è¿™äº›å¤šé¡¹å¼ä¹‹é—´çš„è”系。