伽辽金法
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伽辽金方法（Galerkin method）是由俄罗斯数学家鲍里斯·格里戈里耶维奇·伽辽金（俄文：Борис Григорьевич Галёркин）发明的一种数值分析方法。应用这种方法可以将求解微分方程问题（通过方程所对应泛函的变分原理）简化成为线性方程组的求解问题。而一个高维（多变量）的线性方程组又可以通过线性代数方法简化，从而达到求解微分方程的目的。
伽辽金法采用微分方程对应的弱形式，其原理为通过选取有限多项试函数（又称基函数或形函数），将它们叠加，再要求结果在求解域内及边界上的加权积分（权函数为试函数本身）满足原方程，便可以得到一组易于求解的线性代数方程，且自然边界条件能够自动满足。
必须强调指出的是，作为加权余量法的一种试函数选取形式，伽辽金法所得到的只是在原求解域内的一个近似解（仅仅是加权平均满足原方程，并非在每个点上都满足）。
因为伽辽金方法的妙处在于研究它们的抽象方法，所以我们首先给出它们的抽象推导。最后我们再给出应用的例子。
常常用到伽辽金法的领域有：
- 有限元方法
- Krylov空间法
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[编辑] 通过抽象问题的简介
[编辑] 一个问题的弱形式
我们通过一个抽象问题来引入伽辽金方法，将问题表示成在一个希尔伯特空间V上的弱形式，也就是，求解
使得对于所有
- a(u,v) = f(v)
成立。这里，a(.,.)是一个双线性型表达式，f是一个V上的线性形表达式。
[编辑] 伽辽金离散化
选取一个n 维子空间
，然后求解问题在子空间中的投影：求
使得对于所有
- a(un,vn) = f(vn).
我们称这个方程为伽辽金方程。注意方程形式没有改变，但是求解域改变了。
[编辑] 伽辽金正交性
这是使得伽辽金方法非常有效的关键性质。因为，我们可以取vn为原方程的一个试矢量。带入并相减，便得到误差的伽辽金正交性关系
- a(en,vn) = a(u,vn) − a(un,vn) = f(vn) − f(vn) = 0.
这里en = u − un是真实解u和伽辽金方程的解uh之间的误差。
[编辑] 矩阵形式
因为伽辽金方法的目标是将问题简化为线性方程组，我们来构造它的矩阵形式，以便利用计算机进行数值求解。
令
为Vn空间中的一组基。则显然依次选取这些基矢量作为伽辽金方程的试矢量是充分的，也即：求解使得
用上述基矢量表示出un：
，将其代入上面的方程得到
这样我们就得到了上面这组Au = f型的线性方程组，式中
[编辑] 矩阵的对称性
由于矩阵项的定义，伽辽金方程的系数矩阵是对称矩阵的充要条件是双线性型表达式a(.,.)是对称的。
[编辑] 伽辽金方法的进一步分析
这里，我们只讨论对称双线性型，也即
- a(u,v) = a(v,u).
虽然伽辽金方法并不要求一定对称，但这一限制使得标准理论的应用变得简单的多。而且，非对称情形的分析可能需要用到彼得罗夫－伽辽金方法。
下面我们分两步分析上述方法。第一步，论证伽辽金方程在哈达玛意义下是适定的，因此存在唯一解。第二步，讨论伽辽金解un的误差大小。
分析过程主要依据双线性型的两个性质：
- 有界性：对于所有
，下式成立
- 椭圆性：对于所有，下式成立
根据Lax-Milgram定理（参看弱形式），这两条性质保证了原问题的弱形式的适定性。下面章节中的所有范数都是使得上面的不等式成立的范数（这些范数通常称为能量范数）。
[编辑] 伽辽金方程的适定性
因为，双线性型的有界性和椭圆性对于Vn也成立。因此，伽辽金问题的适定性实际上继承自其原问题的适定性。
[编辑] 准最佳近似（Céa引理）
真实解和伽辽金解之间的误差en = u − un有如下估计
上式翻译成文字语言就是：伽辽金解un的误差（和真实解u的差）能控制在Vh中最优解矢量的误差的C / c倍以下（在量级上）。特别有用的是，从此对误差的估计可以只在空间Vn中进行考虑，而完全不用回到求解的方程。
[编辑] 证明
因为证明非常简单，并且是各种伽辽金法的基本原理依据，因此简单介绍如下： 根据双线性型的椭圆性和有界性（下式中的两个不等号），以及伽辽金法的正交性（下式中间的等号），我们对于任意有：
全式除以
并对所有可能的vh取下确界得到该引理。
[编辑] 例子
[编辑] 文献
通常，伽辽金法不是文献的单独主题。它们和它们的应用同时讨论。 因此，读者可以参考有限元方法的教科书。
譬如
- P. G. Ciarlet: The Finite Element Method for Elliptic Problems, North-Holland, 1978
在这个框架下的Krylov空间法的分析可以在这里找到：
- Y. Saad: Iterative Methods for Sparse Linear Systems, 2nd edition, SIAM, 2003
