傅利曼數

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傅利曼數（Friedman number）是在給定的進位制中，能夠用組成數字透過四則運算、括號和冪組成式子，結果是自己的數。例如347是傅利曼數因為 $347 = 7 3 + 4$ 。

十進制中，一千以內的傅利曼數為25, 121, 125, 126, 127, 128, 153, 216, 289, 343, 347, 625, 688, 736（OEIS:A036057）。

在不同的進位制，傅利曼數都有無限個（Trevor Green）。

在數位前增加0或使用括號括起一整個數作為解答是不允許，因為任何數也能做到，例如001729=1700+29或24=(24)。

觀察到5的冪大多是傅利曼數，便可找到一連串的傅利曼數。Friedman給出的例子是250068=500^2+68，於是找到250010至250099均為傅利曼數。

[编辑] 好傅利曼數

若那個數的組成式子可以依數字的順序，就說那個數是好傅利曼數。例如 $127 = - 1 + 2 7$ 、 $343=3^4\times3$ 。少於10000的好傅利曼數都要用上加法和減法，它們是127, 343, 736, 1285, 2187, 2502, 2592, 2737, 3125, 3685, 3864, 3972, 4096, 6455（OEIS:A080035）。

[编辑] 循環整數

顯然易見，任何傅利曼數兼循環整數，都是好傅利曼數。

十進制中最小的傅利曼數可能是 $99999999 = (9 + 9 / 9) 9 - 9 / 9 - 9 / 9$ （Fondanaiche）。

所有進位制中的超過24位的循環整數均為傅利曼數（Brandon Owens）。

[编辑] 找尋傅利曼數所用的算法

在任何給定進位制中，兩位的傅利曼數比三位的少，但較為易找。將一個兩位數表示成 $m b + n$ ，當中 $b$ 是底， $m, n$ 是0至 $b - 1$ 的整數，檢查它們是否符合 $mb+n=mn \quad m+n=m^n \quad mb+n=n^m$ 其中一條，便可以知道這個數是否傅利曼數。當去到較高的位數，只需增加要檢查的等式數量即可。

[编辑] 羅馬數字中傅利曼數

若規則不變，所有羅馬數字均為傅利曼數。它們都可以用加號或減號連結起來。因此Erich Friedman 和Robert Happleberg都研究過不只使用加和減的式子，第一個好傅利曼數為8， $VIII=(V-1) \times II$ ；除此之外亦有用到冪的如 $256 = C C L V I = I V C C / L$ 。