切丛

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数学上，一个微分流形M的切丛(tangent bundle) T(M)是一个由M各點上切空間組成的向量丛，其總空間是各切空间的不交并集：

$T(M) = \coprod_{x\in M}T_x(M).$

總空間T(M)每个元素都是一个二元组(x,v)，其中v是在点x的切空间T_x(M) 內的一枚向量。切丛有自然的2n维微分流形结构如下：

設: $\pi\colon T(M) \to M\,$ 為自然的投影映射，将(x,v)映射到基点x；若M是个n维流形，U是x的一个足夠小的邻域， φ :U→Rⁿ是一个局部坐标图， V是U在T(M)的前象V（ $V=\pi^{-1}(U)\,$ )），则存有一个映射ψ : V → Rⁿ × Rⁿ： ψ(x, v) = (φ(x), dφ(v)). 这个映射定义了T(M)的一个坐标图。

背景知识见微分流形条目。

[编辑] 拓扑和光滑结构

切丛带有一个自然的拓扑(不是不交并拓扑(disjoint union topology))以及微分结构，使得它自己成为一个流形。T(M) 的维数是M的两倍。

每个n维向量空间的切空间是一个n维向量空间。那么作为一个集合，T(M)和M × Rⁿ同构。但作为一个流形，T(M)并不总是和积流形M × Rⁿ微分同胚。这在切丛是平凡的时候是真的。就象流形局部由欧氏空间构造一样，切丛局部构造在M × Rⁿ上。

若M是一个n维流形，则它有一个坐标图集(U_α, φ_α) 其中U_α是M中开集而

$\phi_\alpha\colon U_\alpha \to \mathbb R^n$

是一个同胚。U上的这些局部坐标对于每个x ∈ U给出了T_xM和Rⁿ之间的一个同构。我们然后可以定义一个映射

$\tilde\phi_\alpha\colon \pi^{-1}(U_\alpha) \to \mathbb R^{2n}$

这是通过下式完成的

$\tilde\phi_\alpha(x, v^i\partial_i) = (\phi_\alpha(x), v^1, \cdots, v^n)$

我们用这些映射来定义T(M)上的拓扑和光滑结构。T(M)的子集A是开的当且仅当对于每个α， $\tilde\phi_\alpha(A\cap U_\alpha)$ 在R²ⁿ中是开的。这样这些映射是T(M)的开子集和R²ⁿ的同胚，所以可以作为T(M)的光滑结构的坐标图。坐标图定义域的交集 $\pi^{-1}(U_\alpha\cap U_\beta)$ 上的变换函数用相关的坐标变换的雅各比矩阵引出，所以是R²ⁿ的开子集间的光滑映射。

切丛是称为向量丛(自己是纤维丛的特例)的更一般的构造的特例。直接一点的说，n维流形M的切丛可以定义为一个M上的n阶向量丛，其变换函数由相应的坐标变换的雅各比矩阵给出。

[编辑] 向量场

向量场是切丛的截面。

[编辑] 局部向量场

局部向量场是切丛的局部截面。

[编辑] 向量场的层

所有局部向量场的集合构成一个层(sheaf).

[编辑] 参见

[编辑] 外部链接

[编辑] 参考

Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-4267-2
Ralph Abraham and Jarrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X
Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation, (1970) W.H. Freeman, New York; ISBN 0-7167-0344-0.

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