加法單位元

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在數學裡，一個具有加法運算的集合中的加法單位元，是指不論它加上任何一個在此集合內的元素x都會等於x的元素。

[编辑] 基本例子

初等數學中所熟悉的加法單位元為0。

如：

5 + 0 = 5 = 0 + 5.

在自然數N和其所有的父集(整數Z、有理數Q、實數R、複數C)內，其加法單位元皆為0。所以對於任何一個數n，

n + 0 = n = 0 + n.

[编辑] 形式定義

令N是一個在加法運算下封閉的集合。N的加法單位元即為任一個能使所有在N內的元素n有下列公式的元素e：

e + n = n = n + e.

[编辑] 更多例子

在一個群裡，加法單位元即是這個群的單位元，通常標記做0，並且是唯一的(見下面證明)。

一個環或一個體也會是一個在加法運算下的群，因此它們也會有一個唯一的加法單位元0。它被定義必須和乘法單位元1不同，若環(或體)有兩個以上的元素時。如果加法單位元和乘法單位元是同一個的話，這個環則會是當然的(見下面證明)。

在一個於群G上的m乘n階矩陣所組成的群M_m×n(G)裡，其加法單位元標記為0，且會是個其元素都是在G內的單位元0的m乘n矩陣。例如，在一個於整數上的2階方陣M₂(Z)裡，其加法單位元為

$0 = \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$ .

[编辑] 證明

[编辑] 加法單位元在一個群裡是唯一的

令(G,+)是一個群，且設0和0'是在G內的兩個加法單位元，則對於所有在G內的g而言，

0 + g = g = g + 0 且 0' + g = g = g + 0'.

由上可得

0 + (0') = (0') = (0') + 0 及 0' + (0) = (0) = (0) + 0'

故可證明 0 = 0'。

[编辑] 加法和乘法單位元在一個非當然環裡是不同的

令R是一個環，且假設加法單位元0和乘法單位元1會相等，即0=1。設r為於R內的任一元素，則

r = r × 1 = r × 0 = 0

其表示R必須是當然的，亦即R={0}。再依照換質位法，即可得出若R不是當然的，則0不會等於1的結論。

[编辑] 另見

加法逆元
單位元
乘法單位元

[编辑] 外部連結

Template:PlanetMath
埃立克·魏爾斯史甸在MathWorld中所描述之加法單位元。

[编辑] 參考文獻

David S. Dummit, Richard M. Foote, Abstract Algebra, Wiley (3d ed.): 2003, ISBN 0-471-43334-9.

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