外爾特徵標公式

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外爾特徵標公式（Weyl's character formula) 描述緊李羣不可約表示的特徵標。其名來自證明者Hermann Weyl。

定義：羣G的表示r的特徵標為一函數 $\chi: G\rightarrow C$ ， $χ(g): = T r (r (g))$ ，其中Tr 為線性算子之迹。（由Peter-Weyl 定理可知緊李羣的任何不可約表示都是有限維的；故迹之定義為線性代數中之定義。）

特徵標 χ 記住了表示 r 本身的重要訊息。外爾特徵標公式用羣G的其他資料來表達 χ 。本文考慮複表示，不失一般亦設其為么正表示，因而「不可約」亦等價於「不可分解」（即非二子表示之直和）。

[编辑] 公式

緊李羣G 之不可約表示之特徵標符合下式：

${\sum_{w\in W} (-1)^{\det(w)}w(e^{\lambda+\rho}) \over e^{\rho}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-\alpha})}$

其中

ρ 為羣G 之外爾向量，即各正根之和之半；
W 為外爾羣；
λ 為不可約表示之最高權；
α 遍歴G之每一正根。

[编辑] 外爾分母公式

在 1 維表示的特例中，特徵標為 1, 而外爾特徵標公式簡化成 外爾分母公式：

${\sum_{w\in W} (-1)^{\det(w)}w(e^{\rho}) = e^{\rho}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-\alpha})}.$

若G為特殊么正羣，則簡化成Vandermonde 行列式的等式：

$\sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) \, \alpha_1^{\sigma(1)-1} \cdots \alpha_n^{\sigma(n)-1} =\prod_{1\le i<j\le n} (\alpha_j-\alpha_i)$ 。

[编辑] 外爾維度公式

若只考慮單位元1之迹，則外爾特徵標公式特殊化成 外爾維度公式

$\dim(V_\Lambda)= {\prod_{\alpha>0}(\Lambda+\rho,\alpha) \over \prod_{\alpha>0}(\rho,\alpha)}$ ,

$\dim(V_\Lambda) = {\prod_{\alpha>0}(\Lambda+\rho,\alpha) \over \prod_{\alpha>0}(\rho,\alpha)}$

其中

V_Λ為有限維表示，其最高權為Λ；
ρ為外爾向量，
α 遍歴所有正根。

由於式中分子與分母俱為高階零，故必須取G中之元素漸近單位元1時之極限。

[编辑] Freudenthal 公式

Hans Freudenthal發現了權重數^[1]符合之一遞歸公式。此公式等價於外爾特徵標公式，而在某些情況下更簡便。式曰：

$((\Lambda+\rho)^2 - (\lambda+\rho)^2)\dim V_\lambda = 2 \sum_{\alpha>0}\sum_{j\ge 1} (\lambda+j\alpha, \alpha)\dim V_{\lambda+j\alpha}$ ；

其中

Λ 為一最高權，
λ 為另一權，
dim V_λ 為權λ 之重數，
ρ 為外爾向量，
外和中之 α 歴遍所有正根。

[编辑] 外爾-Kac 特徵標公式

外爾特徵標公式亦適用於Kac-Moody 代數之可積最高權表示－－外爾-Kac 特特徵標公式。同樣地，分母恆等式亦可推廣至Kac-Moody 代數，其在仿射李代數之特例成為Macdonald 恆等式。其在 A₁ 仿射李代數之例成為經典的雅可比三重乘積恆等式：

$\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - x^{2m}\right) \left( 1 - x^{2m-1} y\right) \left( 1 - x^{2m-1} y^{-1}\right) = \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n x^{n^2} y^{n}.$

此特徵公式可推廣至廣義 Kac-Moody 代數之可積最高權表示：

${\sum_{w\in W} (-1)^{\det(w)}w(e^{\lambda+\rho}S) \over e^{\rho}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-\alpha})}$

其中 S 為一修正項：

S =	∑	( − 1) ^{\| I \|} e^ΣI
	I

其中 I歴遍虚簡單根集內所有與最高權 $λ$ 正交、且互相正交之有限子集；|I| 集 I 之基數，而 ΣI為集 I 內元素之和。

而Monster 李代數之分母公式則為楕圓模函數^[2]j之積公式：

$j(p)-j(q) = \left({1 \over p} - {1 \over q}\right) \prod_{n,m=1}^{\infty}(1-p^n q^m)^{c_{nm}}$ 。

Peterson 發現了（廣義）可對稱化^[3] Kac-Moody 代數之根重數 mult(β) 遞歸公式。此公式等價於韋耳-Kac 分母公式，但更便於計算：

(β,β − 2ρ)c_β =	∑	(γ,δ)c_γc_δ
	γ + δ = β

, 其中γ 與 δ 遍歴所有正根，而

$c_\beta = \sum_{n\ge 1} {{\rm mult}(\beta/n)\over n}$ 。

[编辑] 參攷

Infinite dimensional Lie algebras, V. G. Kac, ISBN 0-521-37215-1
Duncan J. Melville, "Weyl–Kac character formula" SpringerLink 數學全書 (2001)

[编辑] 註

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