杨辉三角形

维基百科，自由的百科全书

杨辉繪畫的「古法七乘方圖」

          1
        1   1
      1   2   1
    1   3   3   1
  1   4   6   4   1
1   5  10  10   5   1

杨辉三角形的前6行

杨辉三角形，又称賈憲三角形、帕斯卡三角形、巴斯卡三角形，是二项式係數在三角形中的一种几何排列。

杨辉三角形同时对应于二项式定理的系数。

$n$ 次的二项式系数对应杨辉三角形的 $n + 1$ 行。

例如 $\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$

$2$ 次的二项式正好对应帕斯卡三角形第3行系数 1 2 1。

[编辑] 性質

每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小，回到1。
第n行的数字个数为n个。
第n行数字和为 $2 n - 1$ 。
每个数字等于上一行的左右两个数字之和。(因为 $C_{n}^{i}=C_{n-1}^{i}+C_{n-1}^{i-1}$ )。可用此性质写出整个帕斯卡三角形。
將第2n+1行第1個數，跟第2n+2行第3個數、第2n+2行第5個數……連成一線，這些數的和是第2n個斐波那契數。將第2n行第2個數，跟第2n+1行第4個數、第2n+2行第6個數……這些數之和是第2n-1個斐波那契數。

[编辑] 歷史

歷史上有關這個三角形的最早記載在古印度。印度數學家賓伽羅在其梵語詩集（約450年）中，提到這個「須彌山之樓梯」。他還指出了斐波那契數列和這個三角形的關係。

波斯數學家Karaji和天文學家兼詩人Omar Khayyám都發現了這個三角形，而且Karaji還知道可以借助這個三角形找 $n$ 次根，和它跟二项式的關係。在伊朗，這個三角形稱為「Khayyám三角形」。

意大利人稱之為「塔塔利亞三角形」（Triangolo di Tartaglia）以紀念發現一元三次方程解的塔塔利亞。

13世纪中国宋代数学家杨辉在《详解九章算术》里讨论这种形式的数表，并说明此表引自贾宪的《释锁算术》，並繪畫了「古法七椉方圖」。

布萊士·帕斯卡的著作Traité du triangle arithmétique（1655年）介紹了這個三角形。帕斯卡搜集了幾個關於它的結果，並以此解決一些概率論上的問題，影响面广泛，Pierre Raymond de Montmort（1708年）和亞伯拉罕·棣·美弗（1730年）都用帕斯卡來稱呼這個三角形。

历史上曾经独立绘制过这种图表的数学家：

杨辉南宋 1261《详解九章算法》记载之功
朱世杰元代 1299《四元玉鉴》级数求和公式
阿尔·卡西阿拉伯 1427《算术的钥匙》
阿皮亚纳斯德国 1527
施蒂费尔德国 1544《综合算术》二项式展开式系数
薛贝尔法国 1545
B·帕斯卡法国 1654《论算术三角形》

[编辑] 一個數在楊輝三角形出現的次數

由1開始，正整數在楊輝三角形出現的次數為∞, 1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 4, ... （OEIS:A003016）。最小的數而又大於1在楊輝三角形至少出現n次的數為2, 3, 6, 10, 120, 120, 3003, 3003, ... （OEIS:A062527）