算术基本定理

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算术基本定理，又称为素数的唯一分解定理，即：每个大于1的整数均可写为素数的积，而且这些素因子按大小排列之后，写法僅有一種方式。例如:6936 = $23$ ×3× $172$ ，1200 = $24$ ×3× $52$ 。

算术基本定理的内容由两部分构成：

分解的存在性：
分解的唯一性，即若不考虑排列的顺序，正整数分解为素数乘积的方式是唯一的。

算术基本定理是整数理论中最为基本的一个命题,也是许多其他命题的逻辑支撑点和出发点.

[编辑] 證明

算术基本定理最早的证明是由欧几里德给出的。

[编辑] 大於1整數必可寫成質數之積

反證法：假設有些數不能寫成質數的乘積，最小的一個稱之為n
因為整數可以分成三類數：1、質數、合數。
n不能是1，因為這條定理並不包含1的情況。
n不能是質數，因為質數可以寫成它自己的積，即是p=p
n只能是合數，但合數的定義為可以分解成兩個大於1的整數的積
產生矛盾，因此大於1的整數必可寫成質數之乘積。

[编辑] 較難的部分：唯一性

證明：若質數 $p | a b$ ， $p|a \vee p|b$ 。
若 $p$ 不整除 $a$ ， $a$ 、 $p$ 互質，根據貝祖等式，存在整數 $x$ 、 $y$ 使得 $p x + a y = 1$ 。
將上式乘以 $b$ 得 $p b x + a b y = b$ 。
因為 $p b x$ 和 $a b y$ 都能被 $p$ 整除，故右邊的b亦能。

反證法：假設有些整數能寫成多於一種質數的積，n是最小的一個
將其中兩種方法寫出： $n = p 1 p 2 p 3 ... p r = q 1 q 2 q 3 ... q s$
根據上面的證明， $p 1 | q 1 q 2 q 3 ... q s$ ，但因為 $q 1 q 2 q 3 ... q s$ 中所有數都是質數，不能被除一和自己以外的數所整除，所以存在其中一個 $q x = p 1$
如此類推，最後必定發現每個 $p$ 都可以找到相等的 $q$ ，亦即是兩式相等，和假設矛盾

[编辑] 相关

在复数域中,并不存在相应的定理;事实上只有少数几个数能满足,其中最大的一个是163.例如,6可以以两种方式写成数的乘积: $2\times 3$ 和 $(1 + 5 i)(1 - 5 i)$ .同样的,在分圆整数中也不存在分解的唯一性定理,而这恰恰是人们在证明费马大定理时所遇到的陷阱. 欧几里得在普通整数中证明了算术基本定理——每个整数可唯一地分解为素数的乘积，高斯则在复整数中得出并证明，只要不把四个可逆元素（±1，±i）作为不同的因数，那么这个唯一分解定理对复数也成立。高斯还指出，包括费马大定理在内的普通素数的许多定理都可能转化为复数的定理（扩大到复数领域）。