逻辑代数
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逻辑代数，也叫做开关代数起源于英国数学家乔治·布尔(George Boole)于1849年创立的布尔代数，是数字电路设计理论中的数字逻辑科目的重要组成部分。逻辑变量之间的因果关系以及依据这些关系进行的布尔逻辑的推理，可用代数运算表示出来，这种代数称为逻辑代数。其定义如下：逻辑代数是一个由逻辑变量集、常量 0 和 1 及“与”、“或”、“非”三种运算所构成的代数系统。其中，逻辑变量集是指逻辑代数中所有变量的集合。
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[编辑] 逻辑代数中的几个概念
参与逻辑运算的变量叫逻辑变量，用字母A，B……表示。每个变量的取值非0 即1。 0、1不表示数的大小，而是代表两种不同的逻辑状态。
正、负逻辑规定：
- 正逻辑体制规定：高电平为逻辑1，低电平为逻辑0。
- 负逻辑体制规定：低电平为逻辑1，高电平为逻辑0。
逻辑函数：如果有若干个逻辑变量（如A、B、C、D）按与、或、非三种基本运算组合在一起，得到一个表达式L。对逻辑变量的任意一组取值（如0000、0001、0010）L有唯一的值与之对应，则称L为逻辑函数。逻辑变量A、B、C、D的逻辑函数记为：L=f(A、B、C、D)
[编辑] 基本逻辑关系及逻辑符号
[编辑] 逻辑代数的基本定理
[编辑] 逻辑代数的基本规则
[编辑] 代入规则
任何一个含有变量 X 的等式，如果将所有出现 X 的位置，都代之以一个逻辑函数 F，此等式仍然成立。
[编辑] 对偶规则
设 F 是一个逻辑函数式，如果将 F 中的所有的 * 变成 +，+ 变成 *，0 变成 1，1 变成 0，而变量保持不变。那么就的得到了一个逻辑函数式 F'，这个 F' 就称为 F 的对偶式。如果两个逻辑函数 F 和 G 相等，则它们各自的对偶式 F' 和 G' 也相等。
[编辑] 反演规则
当已知一个逻辑函数 F，要求 ¬F 时，只要把 F 中的所有 * 变成 +，+ 变成 *，0 变成 1，1 变成 0，原变量变成反变量，反变量变成原变量，即得 ¬F。
[编辑] 逻辑函数的标准形式
逻辑变量的逻辑与运算叫做与项，与项的逻辑或运算构成了逻辑函数的与或式，也叫做积之和式(SP form)。
逻辑变量的逻辑或运算叫做或项，或项的逻辑与运算构成了逻辑函数的或与式，也叫做和之积式(PS form)。
[编辑] 最小项
对于 n 个变量的逻辑函数而言，它的与项如果包含 n 个文字，即每个变量以原变量或反变量的形式出现一次且只出现一次，那么这个与项就称为该逻辑函数的最小项。
[编辑] 最大项
对于 n 个变量的逻辑函数而言，它的或项如果包含 n 个文字，即每个变量以原变量或反变量的形式出现一次且只出现一次，那么这个或项就称为该逻辑函数的最大项。
[编辑] 逻辑函数的化简
运用逻辑代数的基本公式及规则可以对逻辑函数进行变换，从而得到表达式的最简形式。这里所谓的最简形式是指最简与或式或者是最简或与式，它们的判别标准有两条：(1)项数最少；(2)在项数最少的条件下，项内的文字最少。
卡诺图是遵循一定规律构成的。由于这些规律，使逻辑代数的许多特性在图形上得到形象而直观的体现，从而使它成为公式证明、函数化简的有力工具。
