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Young不等式 - Wikipedia

Young不等式

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在数学上，Young不等式，指出：假设 a, b, p 和q 是正实数，且有1/p + 1/q = 1 ，那么：

$ab \le \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}.$

等号成立当且仅当

a p = b q

，因为这时 $ab = a(b^q)^{1 \over q} = aa^{p \over q} = a^p = {a^p \over p} + {b^q \over q}$ 。

Young不等式是加权算术－几何平均值不等式的特列，Young不等式是证明Hölder不等式的一个快捷方法。

[编辑] 证明

我们知道函数 $f (x) = e x$ 是一个凸函数，因为它的二阶导数恒为正。从而我们有：

$ab = e^{\ln(a)}e^{\ln(b)} = e^{{1 \over p}\ln(a^p) + {1 \over q}\ln(b^q)} \le {1 \over p}e^{\ln(a^p)}+{1 \over q}e^{\ln(b^q)} = {a^p \over p} + {b^q \over q}$ .

这里我们使用了凸函数的一个性质：对任意 t ，若 0 < t <1，则有：

$f(tx+(1-t)y)\leq t f(x)+(1-t)f(y)$ 。

[编辑] 推广

设 $\phi : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 是一个连续、严格递增函数且 $φ(0) = 0$ 。那么下面的不等式成立：

$ab \leq \int_{0}^a \phi(x) dx + \int_{0}^b \phi^{-1}(y) dy$

观察 $φ(x)$ 的图形，很容易看出这个不等式的一个直观证明：以上两个积分式所表示的区域之和比由 $a$ 和 $b$ 组成的三角形的面积大。

来自“http://zh.wikipedia.org../../../y/o/u/Young%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F.html”

页面分类: 不等式

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