قابلية التحكم

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة

قابلية التحكم خاصية من خصائص النظم. وهو مصطلح أساسي و يستعمل كثيرا في علم الضبط و نظرية النظم.

فهرست

1 تعريف المصطلح
2 معنى التعريف
3 كيفية معرفة إن كان نظام قابل للتحكم في النظم الخطية
4 قابلية التحكم في الأنظمة اللاخطية

[تحرير] تعريف المصطلح

نقول أن النظام $\dot{x}=Ax+Bu$ حيث x هي حالات النظام و u مداخله قابل للتحم إذا كان يوجد لكل $x(0) \in R^n$ و لكل $T \ge 0$ مدخل u بحيث $x (T) = 0$

[تحرير] معنى التعريف

يعني التعريف المذكور أعلاه أنه من الممكن تحريك أو تغير حالة النظام إلى أي حالة نريدها.hgfg] dh dh

[تحرير] كيفية معرفة إن كان نظام قابل للتحكم في النظم الخطية

لنفترض أنه لدينا نظام خطي على الشاكلة التالية:
$\dot{x}=Ax+Bu$ و $y = C x + D u$ .
حيث A B C و D مصفوفات. A تصف حركية النظام. B تصف تفاعل المداخل مع النظام. المصفوفة C تعطينا الحالات الظاهرة للنظام أي ما نراه من حالات النظام عند المخارج. أما المصفوفة D فهي تظهر تفاعل المداخل المباشر مع المخارج. إذن لنعتبر النظام المذكور أعلاه. و لنعتبر أن المصفوفة A تنتمي إلى $R n x n$ (أي أنها عبارة عن n سطر و n عمود). فإنه حتى يكون النظام قابلا للتحكم يجب على المصفوفة S أن لا تكون منقوصة الدرجة, أي أن ديترمينانت المصفوفة S يجب أن لا تكون صفرا $det(S) \neq 0$ . حيث المصفوفة S تكون كما يلي:
$S=\left[B,AB,A^{2}B,...,A^{n-1}B \right]$

في بعض الأحيان تكون معرفة إن كان نظام قابل للتحكم أسهل من الطريقة المذكورة أعلاه. ففي حالة نظام تكون مصفوفته A ركنية diagonal أي أن المصفوفة تحتوي على أصفر إلا الدياغونال أي أنها تكون على الشاكلة التالية:
$\begin{bmatrix}{a}_{11}&0&\cdots&0\\0&{a}_{22}&\cdots&0\\\vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\0&0\cdots&0&{a}_{mn}\end{bmatrix}$
. و في حالة أن $B=b=\begin{bmatrix}{b}_{1}\\{b}_{2}\\ \vdots \\{b}_{n}\end{bmatrix}$ فإنه حتى يكون النظام قابلا للتحكم يجب أن يكون كل ال $b_{i}\neq 0$ ففي هذه الحالة الشعاع b يعطينا تفاعل المدخل مع حركية النظام فإذا كان أحد ال $b i$ صفرا فإننا لن نتمكن من التأثير على حركية النظام المربوطة به وتدعى أيضا الحركة الذاتية المربوطة به modes of the systems. مثلا إذا كان $b 1 = 0$ فإنه لا يمكنا التأثير على الحركة الذاتية التابعة للقيمة الذاتية $a 11$