Commandabilité

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On considérera dans cet article les systèmes linéaires invariants (SLI) définis par la représentation d'état suivante :

$\begin{cases} \dot X = A X + B U \\ Y = C X + D U \end{cases}$

Un système est dit commandable si quel que soit $x (t i)$ l'état à l'instant initial, et quel que soit $x (t f)$ l'état à l'instant final, il existe une commande $u (t)$ , appliquée sur un intervalle de temps fini $[t i; t f]$ , qui permet de rejoindre l'état final partant de l'état initial.

Sommaire

1 Système diagonal
2 Critère de Kalman pour la commandabilité des systèmes linéaires invariants
3 Dualité commandabilité / observabilité
4 Stabilisabilité
5 Forme canonique pour la commandabilité
6 Voir aussi

[modifier] Système diagonal

Soit un système décrit par la représentation d'état $\begin{cases} \dot X = A X + B U \\ Y = C X \end{cases}$ avec A une matrice diagonale. Ce système est commandable si et seulement si tous les éléments de la matrice C sont non nuls.

[modifier] Critère de Kalman pour la commandabilité des systèmes linéaires invariants

Dans un cas plus général, le système est commandable si et seulement si :

$rang(\mathcal{C}) = rang\begin{bmatrix}B& AB& ...& A^{n-1}B\end{bmatrix} = n$

La matrice $\mathcal{C}$ est appelée la matrice de commandabilité, et ses colonnes se calculent de façon itérative : $A k + 1 B = A * A k B$ .

[modifier] Dualité commandabilité / observabilité

Il existe un principe de dualité entre la commandabilité et l'observabilité : soient deux systèmes :

$S : \begin{cases}\dot X = AX+BU \\ Y=CX\end{cases} S^* : \begin{cases}\dot X^* = A^TX^*+C^TU^* \\ Y^*=B^TX^*\end{cases}$

$S$ est observable si et seulement si $S *$ est commandable
$S$ est commandable si et seulement si $S *$ est observable
Un système à la fois commandable et observable est dit minimal.

[modifier] Stabilisabilité

La commandabilité est une propriété structurelle forte du système. Il est souvent suffisant d'utiliser la propriété de stabilisabilité. Cette dernière propriété peut se définir de plusieurs façons équivalentes, un système est dit stabilisable ssi :

Ses pôles non commandables sont stables, i. e. les variables non commandables sont naturellement stables.
Il existe une commande par retour d'état $U (t) = - K X (t)$ tel que la matrice $(A - B K)$ soit Hurtwitz. C'est une propriété importante, car comme le terme le laisse entrevoir il est impossible de stabiliser un système qui n'est pas stabilisable.

[modifier] Forme canonique pour la commandabilité

Il est souvent intéressant de séparer les variables d'état commandables des autres. Notons $χ$ la partition commandable du vecteur d'état, et $ξ$ le reste du vecteur d'état, non commandable. Le système s'écrit alors :

$\begin{bmatrix} \dot \chi \\ \dot \xi \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ 0 & A_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \chi \\ \xi \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} B_1 \\ 0 \end{bmatrix}U$

La forme canonique pour la commandabilité est caractérisée par l'absence des termes $A 21$ et $B 2$ qui sont donc nuls. Sous cette forme, le système est stabilisable ssi la matrice $A 22$ est Hurtwitz.