Диференциално уравнение

от Уикипедия, свободната енциклопедия

Диференциално уравнение (съкратено ДУ) е уравнение, съдържащо не само променливи величини, но и поне една производна на една или повече от тях.

Съдържание

1 Физически смисъл
2 Метод за решаване на ДУ
3 Типове диференциални уравнения
4 Вижте също

[редактиране] Физически смисъл

Голям брой от наблюдаваните в природата и техниката явления не са статични, а зависят както от моментните стойности на дадени величини, така и от вида на тяхното изменение. Математически такива явления се налага да бъдат описвани с диференциални уравнения и изградените с тяхна помощ математически модели.

[редактиране] Метод за решаване на ДУ

За да решим едно диференциално уравнение (често в този контекст се говори за интегриране, а самото решение интеграл) трябва да намерим такава функция y, която заедно със своите производни удоволетворява уравнението. Необходимият за това метод често е различен за различните видове диференциални уравнeния. Характеристиките на решенията също зависят от вида на ДУ - например въпросът дали е налице многозначност или съществуването изобщо на решение.

Пример: нека уравнението е

$y''+y=0 \,$

Търсейки функцията, която удовлетворява това уравнение стигаме до общото решение, което има вида:

$y=A \cdot \cos x + B \cdot \sin x$

в което А и В са константи и следват от началните условия - предварително зададени стойности на търсената функция в дадени точки.

Примерът е уравнението за трептене на тежест вържу пружина или люлеенето на махало. А началните условия - това е колко (у) сме отклонили тежеста или махалото, за да предизвикаме трептенията.

[редактиране] Типове диференциални уравнения

Основните типове ДУ са:

Обикновени диференциални уравнения - уравнението съдържа производни само по една променлива;
Частни диференциални уравнения - уравнението съдържа производни на повече от една променлива;
Диференциални алгебрични уравнения - обща форма на диференциални уравнения.