Евклидово пространство

от Уикипедия, свободната енциклопедия

В математиката, евклидово пространство е вид линейно пространство, в което могат да се дефинират понятията дължина на вектор и големина на ъгъл между два вектора.

Тримерното пространство, в което живеем, е Евклидово пространство, а по-точно, тримерно евклидово пространство и се изучава от стереометрията. Всяка равнина представлява двумерно евклидово пространство и се изучава от планиметрията. По общо, за всяка размерност n може да се дефинира n-мерно евклидово пространство, което представлява обобщение на двумерния и тримерния случай. В евклидовите пространства са изпълнени всички аксиоми на Евклид, тоест те са модел за евклидова геометрия. До 19в. геометрията се занимава изключително с изучаването на тези пространства. През 19в. се открива съществуването на модели на неевклидова геометрия.

[редактиране] Формална дефиниция

Нека V е линейно пространство над полето на реалните числа. Нека е зададено изображение, „< , >“ което на всеки два вектора v и w съпоставя реално число, означено с <v,w>. Ще казваме, че V е евклидово пространство, а изображението - скаларно произведение, ако са изпълнени следните свойства:

<v,w> = <w,v>
<u+v,w> = <u,w> + <v,w>
<λv,w> = λ<v,w>
<v,v> > 0 , при v ≠ 0,

където u, v, w ∈ V, а λ е произволно реално число.

[редактиране] Мотивация. Норма и ъгъл

Причината за въвеждането на евклидовите пространства е, че в обикновено линейно пространство не е възможно еднозначно да се дефинират понятията дължина и ъгъл така, че да имат познатите свойства от двумерното и тримерното пространство. Евклидовите пространства ни позволяват да дефинираме тези понятия за произволно голяма размерност.

В равнината скаларното произведение на векторите v и w се дефинира чрез формулата:

$\langle v,w \rangle = \|v\|\|w\|\cos{\alpha},$

където чрез $\|v\|$ се отбелязва дължината на вектора v, наричана още норма, а α е ъгъла между двата вектора. По горната дефиниция множеството на векторите в равнината заедно с това скаларно произведение е евклидово пространство. От формулата могат лесно да се изведат следните зависимости

$\|v\| = \sqrt{\langle v,v\rangle}$ и
$cos\alpha = \frac{\langle v, w \rangle}{\sqrt{\langle v, v \rangle\langle w, w \rangle}}$ , ако $v \neq 0$ и $w \neq 0$ .

Десните части на горните две формули могат да се пресмятат не само в равнината, но и във всяко евклидово пространство. Това позволява да се дефинират понятията норма на вектор чрез формула 1. и ъгъл между два вектора като аркускосинуса на стойността, която се получава по формула 2. Със така въведената норма, евклидовото пространство става нормирано.

Тъй като за всяко линейно пространство скаларно произведение може да се дефинира по различни начини, то и дължината на векторите може да бъде различна. Всъщност за всеки фиксиран вектор може да се избере скаларно произведение така, че нормата му да е произволно положително число.