Continuació analítica

De Viquipèdia

[edita] Introducció

Es consideri un punt $p$ del pla complex i la sèrie de potències en $z - p$ :

$α 0 + α 1 (z - p) + α 2 (z - p) 2 + α 3 (z - p) 3 + ...$

Aquesta sèrie de potències convergeix en un cert cercle $C 1$ de centre $p$ i doncs hi definiex una funció holomorfa $f$ ; escrivem $f p$ per a posar en evidència el punt de desenvolupament.

Considerem un punt $q\in C_1$ i desenvolupem $f$ en sèrie de potències de $z - q$ :

$f q (z) = β 0 + β 1 (z - q) + β 2 (z - q) 2 + β 3 (z - q) 3 + ...$

Si és cas que el cercle de convergència $C 2$ d'aquesta darrera sèrie no sigui continugut en $C 1$ , hom ha de fet obtingut una coneixença més ampla de $f$ , mitjançant la definició: $f(z):= \left\{ \begin{matrix} f_p(z) & \textrm{si}\ z\in C_1\\ f_q(z) & \textrm{si}\ z\in C_2 \end{matrix} \right.$

Aquesta definició és bé posada, perquè $z\in C_1\cap C_2 \Rightarrow f_p(z) =f_q(z)$ .

Direm que l'extenció de $f$ a $C_1\cup C_2$ així obtinguda és una continuació analítica (o també un prolungament analític) de $f_p :C_1\rightarrow \mathbb C$ ; direm també que $f_q :C_2\rightarrow \mathbb C$ és una continuació analítica de $f_p :C_1\rightarrow \mathbb C$ i viceversa.

Per exemple, es pot senzillament veure que les dues sèries de potències $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n} {2^{n+1}}\ (\vert z \vert<2)$ i $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(z-i) ^n}{(2-i)^{n+1}}\ \vert z-i \vert<\sqrt{5}$ són cadascuna una continuació analítica de l'altra. Notem que totes dues representen la funció $z\mapsto 1/(2-z)$ . Més in general, si és cas que $f$ , definida a priori dins un conjunt obert $U\subset\mathbb C$ , es pugui restringir a un conjunt obert $V\subset U$ i successivament $f\vert_V$ pugui ésser prolongada a un conjunt obert $W\not\subset U$ , direm que la nova funció obtenida es una continuació analítica de $f$ .

[edita] Les definicions bàsiques

Un element de funció 1holomorfa és un parell $\left(U,f \right)$ , on $U$ és un conjunt obert a conexió simple del pla complex, $f:U\rightarrow \mathbb C$ una funció holomorfa definida en $U$ , que pren valors en $\mathbb C$ . Dos elements $\left(U,f \right)$ i $\left(V,g \right)$ són conectables si existeix una successió finita

$\left\{(U_j,f_j)\right\}_{j=0,....,n}$ ,

tal que $\left(U_0,f_0 \right)=\left(U,f \right)$ , $\left(U_n,f_n \right)=\left(V,g \right)$ i, per a tot $j = 0,...., n - 1$ ,

$\left\{ \begin{matrix} & U_j\cap U_{j+1}\not= \emptyset,\\ & f_{j+1}\vert_{U_j\cap U_{j+1}}=f_{j} \vert_{U_j\cap U_{j+1}}. \end{matrix} \right.$

Direm que $\ \{(U_i,f_i)\}_{i=0...n}\$ és una continuació analítica de $(U, f)$ (o de $(V, g)$ ). Direm també, si no hi ha possibilitat de confusió, que cada element és una continuació analítica de $(U, f)$ (o de $(V, g)$ ). Els elements $\left\{(U_j,f_j)\right\}_{j=0,....,n}$ es diran enllaçats.

Una continuació analítica al llarg d'un camí $\gamma:[0,1]\rightarrow\mathbb C$ (per a senzillesa suposem que $γ$ sigui $C 1$ a trets) és una continuació analítica ${(U i, f i)} i = 0... n$ tal que $\bigcup_{i=0}^n U_i\supset\gamma([0,1])$ .

Cal sens dubte recordar que la continuació analítica al llarg d'un camí tancat no conserva pas, en general, els valors de la funció en un entorn del punt de partida: es tingui en compte, per exemple, la determinació $\varphi$ de la funció 'arrel quadrada complexa', en un entorn de $1$ , tal que $\varphi(1)=1$ .

Es pot veure $\varphi$ , en coordenades polars, com a l'aplicació que envia $\varrho \exp(i\vartheta)$ cap a $\sqrt{\varrho}\exp(i\vartheta/2)$ , on $\sqrt{\ }$ indica l'operació d'arrel quadrada real positiva. Intu\"\i tivament, continuem $\varphi$ al llarg de la circumferència unitat: després una volta compleda, és a dir un increment de $\vartheta$ igual a $2π$ , obtenim un nou element de funció holomorfa $ψ$ en un entorn de $1$ , que ha redu\"\i t a meitat l'increment de de $2π$ l'argument de $z$ .

Doncs, $\arg(\psi(z)) =\arg(\varphi(z))+\pi$ , és a dir $\varphi=-\psi$ . Naturalment, una altra volta de $2π$ ens porta de bell nou a l'element de partida $\varphi$ .

Es pot veure que el conjunt de les continuacions analítiques d'un mateix element forma de manera natural una superfície de Riemann, anomenada superfície de Riemann de l'element o també continuació analítica maximal, que existeix gracies al Lema de Zorn.

[edita] Formació de fronteres naturals

Es consideri un element de funció holomorfa $(U, f)$ : pot succeir que, per a cada restricció $(V, g)$ de $(U, f)$ (és a dir, $V\subset U$ i $g=f\vert_V$ ) no existeixi cap continuació analítica $(W, h)$ de $(V, g)$ tal que $W\cap U\not\subset U$ . Si és cas, direm que $\partial U$ és una frontera natural per a l'element $(U, f)$ . Considerem per exemple la série de potències

$\sum_{n=0}^{\infty}z^{2^n}=1+z^2+z^4+ z^8+...$ :

gracies al teorema de Cauchy-Hadamard ella convergeix dins el disc $\vert z\vert<1$ , i doncs hi definieix una funció holomorfa $h$ . De més, $h(z)\to\infty$ llavors que $z\to 1$ al llarg de l'eix real. Puix que $h (z 2) = 1 + z 4 + z 8 + z 16 + ... = h (z) - z 2$ hom ha $\lim_{z\to{-1},z\in\mathbb R} h(z) =$ $\lim_{z\to{-1},z\in\mathbb R} \left(z^2+h(z^2) \right) =\infty$ .

De la mateixa manera, $h (z) = z 2 + z 4 + h (z 4)$ , doncs $h\to\infty$ llavors que $z\to\pm i$ al llarg de l'[[eix imaginari]]; de manera general, $h(z)=z^2+...+z^{2^n}+h(z^{2^n})$ , per a tot nombre natural $n$ , doncs $h\to\infty$ llavors que $z\to \exp({2k\pi/2^n})$ al llarg d'un radi del disc.

El conjunt dels punts de la forma $\exp({2k\pi/2^n}),\ k,n\in\mathbb Z$ és dens dins el cercle $\mathbb T=\{\vert z\vert=1\}$ , doncs $h$ no admet cap continuació analítica a algun punt d'aquesta corba: ella és doncs una frontera natural.

Observem que $h$ pot tampoc ser continuada als punts de $\mathbb T$ com a funció meromorfa, perquè, en aquest cas, $1 / h$ s'anul $\cdot$ laria en un conjunt amb un punt d'acumulació i seria doncs identicament zero.

Obtingut de "http://ca.wikipedia.org../../../c/o/n/Continuaci%C3%B3_anal%C3%ADtica.html"

Categoria: Anàlisi complexa

Continuació analítica

De Viquipèdia

[edita] Introducció

[edita] Les definicions bàsiques

[edita] Formació de fronteres naturals

Views

Navegació

Cerca

En altres llengües