Superfície de Riemann

De Viquipèdia

Nota: L'article necessita algunes millores en el contingut o l'estil:

cal verificar el plural de atles (atlesos?); cal acabar la traducció de la secció 'art and literature'

En les matemàtiques, particularment in anàlisi complexa, una superfície de Riemann (després Bernhard Riemann) és una varietat complexa a una dimensió. Es poden pensar les superfícies de Riemann com a unes versions deformades del pla complex: localment poden semblar unes 'peças' (o conjunts oberts) del pla complex, però la topologia global pot ésser força diferent. Per exemple, poden ésser homeomorfes a una esfera, a un tor o a un parell de fulls enganxats.

La qüestió principal sobre les superfícies de Riemann és que es poden definir les funcions holomorfes entre elles. Avui en dia les superfícies de Riemann són considerades el context natural per a estudiar el comportament global d'aquestes funcions, especialment les funcions a més valors com la funció arrel quadrada o el logaritme en el cos complex.

Cada superfície de Riemann és una varietat real analítica a dimensió 2, però té també una estructura complexa, necessària per a una definició no ambivalent de les funcions holomorfes. Una varietat real a dimensió 2 pot ésser transformada en una superfície de Riemann (generalment en moltes maneres no equivalents) si i només si és orientable. Així l'esfera i el tor admeten una estructura complexa, però la banda de Möbius, la botella de Klein i el pla projectiu no.

Els fets geomètrics a propòsit de les superfícies de Riemann són els melhors possibles, i forneixen la intuició e la motivació per a la generalització a altres corbes o varietats. El teorema de Riemann-Roch és un exemple important d'aquesta influença.

[edita] Definició formal

Sigui X un espai de Hausdorff. Un homeomorfisme de un subconjunt obert U⊂X a un subconjunt de C s'anomena carta. Dues cartes f i g de les quals els dominis s'intersequen es diuen compatibles si les aplicacions $f\circ g^{-1}$ i $g\circ f^{-1}$ són holomorfes sobre els seus dominis. Si A és una col·lecció de cartes compatibles e cada $x\in X$ és en el domini d'una f de A, llavors es diu que A és un atles. El parell (X, A) s'anomena també superfície de Riemann.

Diversos

atles

poden generar la mateixa estructura de superfície de Riemann sobre X. Per a evitar aquesta ambivalència, es demana que l'atlas sigui 'maximal', és a dir, que no sigui contingut en algú altre atlas. Cada atles A és contingut en un únic atles maximal gracies al Lema de Zorn.

[edita] Exemples

El pla complex amb l'aplicació identitat f(z) = z.
Anàlogament cada subconjunt obert del pla complex o d'una superfície de Riemann.
Sigui S = C ∪ {∞} i f(z) = z si z ∈ S \ {∞}, g(z) = 1 / z si z ∈ S \ {0}, i 1/∞ és definit 0. Llavors f i g són cartes compatibles i { f, g } és un atles per a S, així doncs S és una supefície de Riemann. Aquesta superfície s'anomena esfera de Riemann i pot ésser interpretada com a l'envoltament del pla sobre l'esfera. Al contrari del pla, es tracta d'un espai compacte.

La teoria de les superfícies de Riemann compactes es pot mostrar equivalent a la teoria de les corbes algebràiques sobre el pla complex i no singulars.

Uns exemples de superfícies de Riemann no compactes s'originen mitjançant continuació analítica maximal.

[edita] Propietats

Una funció f : M → N entre dues superfícies de Riemann s'anomena holomrofa si per a cada carta g en l'atles de M i per a cada carta h en l'atles de N l'aplicació $h\circ f\circ g^{-1}$ és holomorfa on és definida. La composició de dues funcions holomorfes és holomorfa. Les dues superfícies de RIemann M i N s'anomenen conformement equivalents si existeix una aplicació holomorfa bijectiva de M a N (aquest fet implica que l'inversa és també holomorfa). Dues superfícies de Riemann conformement equivalents són de fet la mateixa superfície.

Cada superfície de Riemann simplement connexa és conformement equivalent a una de les superfícies a continuació:

C, el pla complex
C ∪ {∞} l'esfera de Riemann
{z ∈ C : |z| < 1} el disc unitat obert.

Aquest enunciat és conegut com al Teorema d'unifomització de Riemann.

Cada superfície de Riemann connexa pot ésser transformada en una varietat Riemanniana real a 2 dimensions amb corbatura constant

-1 : es diu una superfície hiperbòlica
0 : es diu una superfície parabòlica
+1: es diu una superfície el·líptica.

L'estrctura Riemanniana és única a menys de multiplicació per una constant real.

[edita] Exemples de superfícies hiperbòliques

El disc unitat obert amb la mètrica de Poincaré
Cada supefície de gènere g>1.

[edita] Exemples de superfícies parabòliques

C
El tor a 2 dimensions reals

[edita] Exemples de superfícies el·líptiques

L'esfera de Riemann

[edita] Modelització

Cada superfície de Riemann parabòlica tancada té el grup fonamental isomòrfic al grup reticle de rang 2, per tant la superfície pot ésser construida com a C/Γ, on Γ és el grup reticle. Els conjunts representatius de les classes d'equivalència s'anomenen domini fonamentals.

Cada superfície de Riemann hiperbòlica té el grup fonamental isomòrfic a un grup fuchsià, per tant la superfície pot ésser construida com a H/Γ, on Γ és el grup grup fuchsià i H el sempilà superior.

Els conjunts representatius de les classes d'equivalència s'anomenen conjunt reglular lliures i poden ésser modelats en polígons fonamentals mètrics.

Quan una superfície de Riemann hiperbòlica és compacta, l'àrea total de la superfície és $4π(g - 1)$ , on g és el gènere; l'àrea és obtinguda aplicant el teorema de Gauss-Bonnet a l'àrea del polígon fonamental.

[edita] Orientabilitat

Totes les superfícies de Riemann, així com ara les varietat complexes, són orientables com a varietats reals. La raó és que, per a cartes complexes f i g , amb funció de transició h = f(g^-1(z)), es pot considerar h com una aplicació entre subconjunts de R²: en aquest cas, el determinant Jacobià a un punt z és la multiplicació per a h'(z). De tota manera, el determinant real d'una multiplicació per a un nombre complex α és igual a |α|^2, així doncs és positiu, i l'atles complex és orientat.

[edita] Funcions

Cada superfície de Riemann no compacta admet funcions holomorfes no constantes (a valors en $\mathbb{C}$ ). De fet, cada superfície de Riemann no compacta és una varietat de Stein.

Al contrari, sobre una superfície de Riemann compacta, totes les funcions holomorfes a valors en $\mathbb{C}$ són constants gracies al principi del màxim. Però existeixen funcions meromorfes (és a dir, funcions holomorfes a valors en l'esfera de Riemann) no constants.

[edita] In art and literature

One of M.C. Escher's works, Print Gallery, is laid out on a cyclically growing grid that has been described as a Riemann surface.
In Aldous Huxley's novel Brave New World, "Riemann Surface Tennis" is a popular game.

[edita] Vegeu també

Geometria algebràica
Geometria confurme
Varietat de Kähler
Espai da Teichmüller
Esfera da Riemann
Teoremes sobre les superfícies de Riemann
- Teorema de Riemann-Roch
- Fórmula de Riemann-Hurwitz
- Teorema de l'aplicació da Riemann
- Teorema d'uniformització de Riemann
- Teorema dels automorfismes de Hurwitz

[edita] Referències

Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4
Jürgen Jost, Compact Riemann Surfaces (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X
Plantilla:Planetmath referenceMöbius strip,

Obtingut de "http://ca.wikipedia.org../../../s/u/p/Superf%C3%ADcie_de_Riemann_b512.html"

Categories: Viquipèdia:Articles a millorar | Anàlisi complexa | Geometria